Use a Definição 5.4.3 tomando como x_k* como o ponto médio de cada subintervalo para encontrar a área sob a curva y = f(x) acima do intervalo especificado.

f(x) = 6 - x; [1,5]

Passo 1

Segundo a definição 5.4.3, a área sob a curva de f ( x ) em [ a , b ] , se f x ≥ 0 em [ a , b ] é dada por:

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n f x k * Δ x

Onde sendo calculada pela extremidade esquerda, a gente faz:

Δ x = b - a n

x k * = a + ( k - 1 2 ) Δ x

Trazendo isso pro nosso caso então, temos:

Δ x = 5 - 1 n = 4 n

x k * = 4 k - 1 2 n

Passo 2

Vamos aplicar na fórmula da área então:

A = lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 6 - 4 k - 1 2 n   4 n  

A =   lim n → ∞ ⁡ ∑ k = 1 n 6 n - 4 k + 2 n 4 n

A = l i m n → ∞ 4 n ∑ k = 1 n 6 n n - 4 k n + 2 n

A = l i m n → ∞ 4 n 6 ∑ k = 1 n 1 - 4 n ∑ k = 1 n k + 2 n ∑ k = 1 n 1  

Passo 3

Agora calculando os somatórios e simplificando...

A = l i m n → ∞ 4 n   6 n - 4 n n n + 1 2 + 2 n n  

A =   l i m n → ∞ 4 n 6 n - 2 n - 2 + 2

A =   l i m n → ∞ 24 - 8

A = 16

E... é isso! Essa é a aproximação da área calculada pelo ponto médio😊

Resposta

A = 16

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