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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 25

Nos Exercícios 23-26, determine d r // d theta .

25. r = sec theta cossec theta

Passo 1

(d r)/(d theta) = (d)/(d theta) (sec theta cossec theta)

Regra do produto:

(d)/(d x) (u * v) = v (d u)/(d x) + u (d v)/(d x)

Onde u = sec theta e v = cos sec theta :

(d r)/(d theta) = ( cossec theta ) (d)/(d theta) (sec theta) + (sec theta) (d)/(d theta) (cossec theta)

A derivada de (sec theta) é (sec theta tg theta)

E a derivada de (cossec theta) é (- cossec theta cotg theta)

Então a função fica:

(d r)/(d theta) = ( cossec theta ) (sec theta tg theta) + (sec theta) (- cossec theta cotg theta)

Passo 2

Para simplificar a equação vamos usar as relações:

cossec theta = (1)/(sen theta) , sec theta = (1)/(cos theta) e tg theta = (sen theta)/(cos theta) :

(d r)/(d theta) = ((1)/(sen theta)) ((1)/(cos theta) (sen theta)/(cos theta)) - ((1)/(cos theta)) ((1)/(sin theta) (cos theta)/(sin theta))

(d r)/(d theta) = (1)/(cos^2 theta) - (1)/(sin^2 theta)

(d r)/(d theta) = sec^2 theta - cossec^2 theta

Resposta

(d r)/(d theta) = sec^2 theta - cossec^2 theta

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