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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.Revisão - Ex. 27

Nos exercícios de 25 a 28, ache o valor exato da integral definida usando a definição; não utilize o teorema fundamental do cálculo.

Passo 1

Vejamos que a definição de integral é:

∫ f x d x = lim Δ x → 0 ⁡ ∑ i = 0 n f x i * Δ x

Onde Δ x = b - a n   e   x i * = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x + a

Passo 2

Substituindo x = u - 2 , teremos:

∫ - 2 1 x 3 + 2 x d x = ∫ 0 3 u - 2 3 + 2 ( u - 2 ) d x = ∫ 0 3 u 3 - 6 u 2 + 14 u - 4 d u

Passo 3

Daí, teremos que:

∫ 0 2 u 3 - 6 u 2 + 14 u - 4 d u =

lim n → 0 ⁡ ∑ i = 0 n x i * 3 - 6 x i * 2 + 14 x i * - 4 3 n   = ∑ i = 0 n x i * 3 3 n   - ∑ i = 0 n 6 x i * 2 3 n   + ∑ i = 0 n 14 x i * 1 3 n - ∑ i = 0 n 4 . 3 n  

Passo 4

Vejamos que x i * = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x + a → a = 0 → x i * n = lim Δ x → 0 ⁡ i * Δ x n

Passo 5

Logo:

∑ i = 0 n i 3 81 n 4 - ∑ i = 0 n i 2 162 n 3   + ∑ i = 0 n i 126 n 2   + ∑ i = 0 n 12 n   =  

= 81 n + 1 n 2 4 n 4 - 162 2 n + 1 n + 1 n 6 n 3 + 126 n + 1 n 2 n 2 - 12 n n

Passo 6

lim Δ x → 0 ⁡ 81 n + 1 n 2 4 n 4 - 162 2 n + 1 n + 1 n 6 n 3 + 126 n + 1 n 2 n 2 - 12 n n = 81 4 - 54 + 63 - 12 = 69 4

Resposta

∫ - 2 1 x 3 + 2 x d x = 69 4

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Em cada parte, encontre o limite interpretando-o como o limite de uma soma de Riemann, na qual o intervalo [ 0 ,1 ] está dividido em n subintervalos de mesmo comprimento. lim n → ∞ ⁡ 1 + 2 + 3 + … + n
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.Se f ( x ) for côncava para baixo no intervalo ( a , b ) , então a aproximação trapezoidal T n subestima ∫ a b f ( x ) d x .
Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.A aproximação pelo ponto médio M n , é a média das aproximações pelas extremidades esquerda L n e direita R n .
Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.Exercício 3 ∫ 0 π / 2 cos ⁡ x d x
Use as desigualdades (12), (13) e (14) para encontrar cotas superiores para os erros nas partes (a), (b) e (c) dos exercícios indicados.Exercício 4 ∫ 0 2 sen ⁡ x d x