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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 4

Nos Exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

4 .     ∫ 0 4 x d x 16 - x 2

Passo 1

Perceba que temos integral com descontinuidade infinita em x = 4 . Logo, se a integral converge, então:

∫ 0 4 x d x 16 - x 2 = lim t → 4 - ⁡ ∫ 0 t x d x 16 - x 2

Passo 2

Agora vamos achar a integral indefinida para depois resolver a definida.

Faremos a substituição 16 - x 2 = u       →     - 2 x d x = d u     →       x d x = - d u 2 .

∫ x d x 16 - x 2 = ∫ - d u 2 u = - 1 2 ∫ u - 1 2 d u = - 1 2 u - 1 2 + 1 - 1 2 + 1 + C = - 2 2 16 - x 2 1 2 + C = - 16 - x 2 + C

Pronto.

Passo 3

Agora vamos resolver a definida utilizando a primitiva acima.

Sabemos da integral definida que:

∫ a b f x d x = F b - F a

Em que F é uma primitiva de f .

Dessa forma,

∫ 0 t x d x 16 - x 2 = - 16 - x 2 0 t = - 16 - t 2 - - 16 - 0 2

∫ 0 t x d x 16 - x 2 = - 16 - t 2 + 4

Passo 4

Agora podemos aplicar o limite e resolver a imprópria.

∫ 0 4 x d x 16 - x 2 = lim t → 4 - ⁡ ∫ 0 t x d x 16 - x 2 = lim t → 4 - ⁡ - 16 - t 2 + 4 = 4

∫ 0 4 x d x 16 - x 2 = 4

A integral converge para 4 .

Resposta

∫ 0 4 x d x 16 - x 2 = 4

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