5. a) Mostre que as funções f(x) = (x - 1)^4 e g(x) = x^3 - 3x^2 + 3x - 2 têm pontos estacionários em x = 1 .

b) O que o teste da derivada segunda diz sobre a natureza desses pontos estacionários?

c) O que o teste da derivada primeira diz sobre a natureza desses pontos estacionários?

Passo 1

a) Então galera, para encontrarmos os pontos estacionários das funções devemos derivar nossa função e igualar a derivada a zero, saca só:

f x = x - 1 4

f ' x = 4 . x - 1 3

4 . x - 1 3 = 0

x - 1 = 0

x = 1

Ademais:

g x = x 3 - 3 x 2 + 3 x - 2

g ' x = 3 x 2 - 6 x + 3

3 x 2 - 6 x + 3 = 0

Resolvendo essa equação do segundo grau, teremos as raízes: x 1 = 1 ,   x 2 = 1 , uma vez que o delta da função é nulo! Dessa forma, fica provado que as funções possuem pontos estacionários em x = 1 .

Passo 2

b) Então pessoal, derivando pela segunda vez nossas funções, teremos:

f ' ' x = 12 . x - 1 2

f ' ' 1 = 12 . 1 - 1 2 = 0

Para a segunda função:

g ' ' x = 6 x - 6

g ' ' 1 = 6.1 - 6 = 0

Como os resultados deram nulos, então não podemos dizer nada sobre a natureza dos pontos!

Passo 3

c) Aqui o que temos que fazer é analisar como a derivada primeira se comporta antes e depois do ponto crítico em questão. Para x < 1 temos que:

f ' 0 = 4 . 0 - 1 3 = - 4 < 0

Ou seja, f ' x < 0 (decrescente). Para x > 1 temos que:

f ' 2 = 4 . 2 - 1 3 = 4 > 0

Ou seja, f ' x > 0   (crescente). Como a função passa de decrescente para crescente, podemos dizer que x = 1 para f x é um ponto de mínimo.

Passo 4

Agora para a segunda função, ok? Para x < 1 temos que:

g ' 0 = 3 . 0 2 - 6.0 + 3

g ' 0 = 3 > 0

Ou seja, g ' x > 0 (crescente). Para x > 1 temos que:

g ' 2 = 3.2 2 - 6.2 + 3

g ' 2 = 12 - 12 + 3 = 3 > 0

Ou seja, g ' x > 0 (crescente). Como não há alteração na derivada, então não há extremo relativo em x = 1 . E essa é a nossa análise da questão, pessoal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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