Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 5
5. a) Mostre que as funções e têm pontos estacionários em .
b) O que o teste da derivada segunda diz sobre a natureza desses pontos estacionários?
c) O que o teste da derivada primeira diz sobre a natureza desses pontos estacionários?
Passo 1
a) Então galera, para encontrarmos os pontos estacionários das funções devemos derivar nossa função e igualar a derivada a zero, saca só:
Ademais:
Resolvendo essa equação do segundo grau, teremos as raízes: , uma vez que o delta da função é nulo! Dessa forma, fica provado que as funções possuem pontos estacionários em .
Passo 2
b) Então pessoal, derivando pela segunda vez nossas funções, teremos:
Para a segunda função:
Como os resultados deram nulos, então não podemos dizer nada sobre a natureza dos pontos!
Passo 3
c) Aqui o que temos que fazer é analisar como a derivada primeira se comporta antes e depois do ponto crítico em questão. Para temos que:
Ou seja, (decrescente). Para temos que:
Ou seja, (crescente). Como a função passa de decrescente para crescente, podemos dizer que para é um ponto de mínimo.
Passo 4
Agora para a segunda função, ok? Para temos que:
Ou seja, (crescente). Para temos que:
Ou seja, (crescente). Como não há alteração na derivada, então não há extremo relativo em . E essa é a nossa análise da questão, pessoal!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)