Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 4
4. a) Use os testes da derivada primeira e da derivada segunda para mostrar que tem um mínimo relativo em .
b) Use os testes da derivada primeira e da derivada segunda para mostrar que tem um mínimo relativo em .
c) Dê um argumento verbal informal para explicar por que as funções de a) e b) têm mínimos relativos em .
Passo 1
a) Então galera, antes de fazermos o teste da derivada primeira e da derivada segunda vamos encontrar os pontos críticos da função, ok? Derivando nossa função e igualando a zero, teremos:
Um dos valores possíveis para que isso aconteça é , então esse é o nosso ponto crítico, ok? Da derivada segunda temos:
Como a derivada segunda deu positiva no ponto crítico em questão, então temos que nesse ponto a concavidade da função é para cima, o que indica um ponto de mínimo!
Passo 2
Para confirmarmos se, de fato, é um ponto de mínimo, vamos analisar como a derivada se comporta antes e depois desse valor de , beleza? Para temos:
O que indica um intervalo decrescente. Agora para temos:
O que indica um intervalo crescente. Bom, se antes a função era decrescente e depois passa a ser crescente, sem dúvida alguma se trata de um ponto de mínimo, galera! E está aí nossa prova!
Passo 3
b) Então galera, antes de fazermos o teste da derivada primeira e da derivada segunda vamos encontrar os pontos críticos da função, ok? Derivando nossa função e igualando a zero, teremos:
Um dos valores possíveis para que isso aconteça é , então esse é o nosso ponto crítico, ok? Da derivada segunda temos:
Como a derivada segunda deu positiva no ponto crítico em questão, então temos que nesse ponto a concavidade da função é para cima, o que indica um ponto de mínimo!
Passo 4
Para confirmarmos se, de fato, é um ponto de mínimo, vamos analisar como a derivada se comporta antes e depois desse valor de , beleza? Para temos:
O que indica um intervalo decrescente. Agora para temos:
O que indica um intervalo crescente. Bom, se antes a função era decrescente e depois passa a ser crescente, sem dúvida alguma se trata de um ponto de mínimo, galera! E está aí nossa prova!
Passo 5
c) Então galera, a explicação mais interessante para isso é que como as funções são quadráticas, elas são simétricas em relação ao eixo . Valores menores que e valores maiores que apresentam a mesma imagem e para isso ocorrer, obrigatoriamente tem que haver um mínimo relativo .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)