Enunciado

4. a) Use os testes da derivada primeira e da derivada segunda para mostrar que f x = s e n 2 x tem um mínimo relativo em x = 0 .

b) Use os testes da derivada primeira e da derivada segunda para mostrar que f x = t g 2 x tem um mínimo relativo em x = 0 .

c) Dê um argumento verbal informal para explicar por que as funções de a) e b) têm mínimos relativos em x = 0 .

Passo 1

a) Então galera, antes de fazermos o teste da derivada primeira e da derivada segunda vamos encontrar os pontos críticos da função, ok? Derivando nossa função e igualando a zero, teremos:

f ' x = 2 s e n   x . cos ⁡ x

2 s e n   x . cos ⁡ x = 0

sen ⁡ 2 x = 0

Um dos valores possíveis para que isso aconteça é x = 0 , então esse é o nosso ponto crítico, ok? Da derivada segunda temos:

f ' ' x = 2 . cos ⁡ 2 x

f ' ' 0 = 2 . cos ⁡ 0 = 2 > 0

Como a derivada segunda deu positiva no ponto crítico em questão, então temos que nesse ponto a concavidade da função é para cima, o que indica um ponto de mínimo!

Passo 2

Para confirmarmos se, de fato, x = 0 é um ponto de mínimo, vamos analisar como a derivada se comporta antes e depois desse valor de x , beleza? Para x < 0 temos:

f ' x < 0

O que indica um intervalo decrescente. Agora para x > 0 temos:

f ' x > 0

O que indica um intervalo crescente. Bom, se antes a função era decrescente e depois passa a ser crescente, sem dúvida alguma x = 0 se trata de um ponto de mínimo, galera! E está aí nossa prova!

Passo 3

b) Então galera, antes de fazermos o teste da derivada primeira e da derivada segunda vamos encontrar os pontos críticos da função, ok? Derivando nossa função e igualando a zero, teremos:

f ' x = 2 . t g   x . s e c 2 x

2 . t g   x . s e c 2 x = 0

Um dos valores possíveis para que isso aconteça é x = 0 , então esse é o nosso ponto crítico, ok? Da derivada segunda temos:

f ' ' x = 2 s e c 2 x s e c 2 x + 2 t g 2 x

f ' ' 0 = 2 . 1 + 0 = 2 > 0

Como a derivada segunda deu positiva no ponto crítico em questão, então temos que nesse ponto a concavidade da função é para cima, o que indica um ponto de mínimo!

Passo 4

Para confirmarmos se, de fato, x = 0 é um ponto de mínimo, vamos analisar como a derivada se comporta antes e depois desse valor de x , beleza? Para x < 0 temos:

f ' x < 0

O que indica um intervalo decrescente. Agora para x > 0 temos:

f ' x > 0

O que indica um intervalo crescente. Bom, se antes a função era decrescente e depois passa a ser crescente, sem dúvida alguma x = 0 se trata de um ponto de mínimo, galera! E está aí nossa prova!

Passo 5

c) Então galera, a explicação mais interessante para isso é que como as funções são quadráticas, elas são simétricas em relação ao eixo y . Valores menores que 0 e valores maiores que 0 apresentam a mesma imagem e para isso ocorrer, obrigatoriamente tem que haver um mínimo relativo .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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