Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Esboce a região e uma casca típica.

y = x 2 ,   y = 2 - x ² ; em torno de x = 1

Passo 1

Com os dados do exercício temos os seguintes esboços da região e da casca típica:

Passo 2

O círculo tem 1 - x , e a circunferência tem perímetro 2 π ( 1 - x ) , e altura 2 - x 2 - x 2 = 2 - 2 x ² . Com isso, temos o seguinte volume:

V = ∫ - 1 1 2 π 1 - x ( 2 - 2 x 2 )   d x = 2 π ( 2 ) ∫ - 1 1 1 - x ( 1 - x 2 ) d x

V = 4 π ∫ - 1 1 1 - x - x 2 + x ³ d x = 4 π ( 2 ) ∫ 0 1 ( 1 - x 2 ) d x

Usando o Teorema 5.5.7:

V = 8 π x - 1 3 x 3 0 1 = 8 π 1 - 1 3 - 0 = 8 π 2 3 = 16 3 π

Resposta

V = 16 3 π .

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