Nos exercícios de 27 a 32, ache o vértice, o foco, uma equação do eixo e uma equação da diretriz da parábola dada. Faça um esboço do gráfico.

27 * x^2 + 6 * x + 4 * y + 8 = 0

Passo 1

Vamos reescrever a equação dada de modo que fique:

x 2 + 6 x =   - 4 y - 8

Passo 2

Completando quadrado dos termos envolvendo x no primeiro membro:

x 2 + 6 x + 9 - 9 =   - 4 y - 8

x 2 + 6 x + 9 =   - 4 y - 8 + 9

x + 3 2 = - 4 y + 1

x + 3 2 = - 4 y - 1 4

Assim, conseguimos extrair todas as informações que queremos.

Passo 3

Como temos uma equação do tipo:

x + h 2 = - 4 p y - k

Onde h e k representam as coordenadas x e y da parábola, respectivamente, logo nosso vértice é:

V =   - 3 , 1 4

Equação do eixo:

Como a equação que obtemos é do tipo:

x - h 2 = 4 p y - k

Temos que o eixo da parábola é paralelo ao eixo y passando pelo vértice, logo a equação do eixo é dada por:

x = - 3

O foco está em:

F = - 3 , 1 4 + p ⇒ 4 p = - 4 ⇒ p = - 1

F = - 3 , - 3 4

Como o vértice está no ponto médio entre a reta diretriz e o foco e a distância entre o vértice e o foco é igual a p, assim a distância entre o vértice e a reta diretriz é igual p.

A reta diretriz nesse caso, levando em conta o tipo de equação que temos, é paralela ao eixo x. Assim temos que a equação da reta diretriz é:

1 4 - p = 1 4 - - 1 = 5 4

y = 5 4

Passo 4

O gráfico que representa a equação da parábola é da seguinte maneira:

Resposta

Vértice:

V =   - 3 , 1 4

Foco:

F = - 3 , - 3 4

Equação do eixo:

x = - 3

Equação da diretriz:

y = 5 4

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