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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 31

Nos Exercícios 27-32, determine d p // d q .

31. p = (q sen q)/(q^2 - 1)

Passo 1

(d p)/(d q) = (d)/(d q) ((q sen q)/(q^2 - 1))

Regra do quociente:

(d)/(d q) ((u)/(v)) = (v (d u)/(d q) - u (d v)/(d q))/(v^2)

Onde u = q sen q e v = q^2 - 1 . A função vai ficar:

(d p)/(d q) = ((q^2 - 1) (d)/(d q) (q sen q) - (q sen q) (d)/(d q) (q^2 - 1))/((q^2 - 1)^2)

Passo 2

Vamos calcular (d)/(d q) (q sen q) e (d)/(d q) (q^2 - 1) separadamente para não ficar com uma equação gigante e ter menos chance de se confundir:

Podemos usar a regra do produto, para (d)/(d q) (q sen q) :

(d)/(d q) (u * v) = v (d u)/(d q) + u (d v)/(d q)

Onde u = q e v = sen q :

(d)/(d q) (q sen q) = (sen q) (d)/(d q) (q) + (q) (d)/(d q) (sen q)

Derivada de sen q é cos q :

(d)/(d q) (q sen q) = (sen q) (1) + (q) (cos q)

Já (d)/(d q) (q^2 - 1) é mais fácil, só precismos usar a regra da soma:

(d)/(d q) (q^2 - 1) = (d)/(d q) (q^2) + (d)/(d q) (- 1)

(d)/(d q) (q^2 - 1) = (2 q) + (0) = 2 q

Passo 3

Agora podemos substituir, os valores encontrados no Passo 2, na equação novamente:

(d p)/(d q) = ((q^2 - 1) (sen q + q cos q) - (q sen q) (2 q))/((q^2 - 1)^2)

Multiplicando os termos:

(d p)/(d q) = (q^2 sen q + q^3 cos q - sin q - q cos q - 2 q^2 sen q)/((q^2 - 1)^2)

(d p)/(d q) = (q^3 cos q - sin q - q cos q - q^2 sen q)/((q^2 - 1)^2)

Resposta

(d p)/(d q) = (q^3 cos q - sin q - q cos q - q^2 sen q)/((q^2 - 1)^2)

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