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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 11

Nos Exercícios 1-18, determine d y // d x .

11. y = (cotg x)/(1 + cotg x)

Passo 1

(d y)/(d x) = (d)/(d x) ((cotg x)/(1 + cotg x))

Aqui vamos precisar usar a Regra do quociente:

(d)/(d x) ((u)/(v)) = (v (d u)/(d x) - u (d v)/(d x))/(v^2)

Onde u = cotg x e v = 1 + cotg x . A função vai ficar:

(d y)/(d x) = ((1 + cotg x) (d)/(d x) (cotg x) - cotg x (d)/(d x) (1 + cotg x))/((1 + cotg x)^2)

Passo 2

A derivada de ( cotg x ) é igual a ( - cossec^2 x ) , então a equação vai ficar:

(d y)/(d x) = ((1 + cotg x) ( - cossec^2 x ) - cotg x ( - cossec^2 x ))/((1 + cotg x)^2)

Observe que na derivada (d)/(d x) (1 + cotg x) , a gente usou a regra da soma. Como a derivada de uma constante é igual a zero (d)/(d x) (1 + cotg x) ficou igual a (d)/(d x) (cotg x) , que é igual a ( - cossec^2 x ) .

Passo 3

Colocando ( - cossec^2 x ) em evidência:

(d y)/(d x) = ((1 + cotg x - cotg x) ( - cossec^2 x ))/((1 + cotg x)^2)

(d y)/(d x) = (- cossec^2 x)/((1 + cotg x)^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (- cossec^2 x)/((1 + cotg x)^2)

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