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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.5 - Ex. 28

Nos Exercícios 27-32, determine d p // d q .

28. p = (1 + cossec q) cos q

Passo 1

(d p)/(d q) = (d)/(d q) ((1 + cossec q) cos q)

Regra do produto:

(d)/(d x) (u * v) = v (d u)/(d x) + u (d v)/(d x)

Onde u = (1 + cossec q) e v = c os q :

(d p)/(d q) = (cos q) (d)/(d q) (1 + cossec q) + (1 + cossec q) (d)/(d q) (cos q)

Para resolver a derivada de ( 1 + cossec q ) devemos usar a regra da soma:

(d)/(d q) (1 + cossec q) = (d)/(d q) (1) + (d)/(d q) ( cossec q )

(d)/(d q) (1 - cos t) = (d)/(d q) ( cossec q )

E a derivada de ( cossec q ) é igual a ( - cossec q cotg q )

(d)/(d q) (1 + cos t) = - cossec q cotg q

Já a a derivada de ( cos q ) é igual a ( - sen q )

Então a função vai ficar:

(d p)/(d q) = ( cos q ) (- cossec q cotg q) + ( 1 + cossec q ) ( - sen q )

Passo 2

Para simplificarmos essa expressão, vamos multiplicar os termos e substituir cossec q por (1)/(sen q) :

(d p)/(d q) = - cos q (1)/(sen q) cotg q - sen q - (1)/(sin q) sen q

(d p)/(d q) = cotg^2 q - sen q - 1

Resposta

(d p)/(d q) = cotg^2 q - sen q - 1

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