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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.3 - Ex. 39

Na figura 11, prove que α = β . (Sugestão: escolha os eixos coordenados de tal forma que o centro da hipérbole esteja na origem e os eixos da hipérbole estejam ao longo dos eixos coordenados. Então prove que a reta tangente P T divide ao meio o ângulo formado pelos segmentos de reta F P e F ’ P .)

Passo 1

Tomemos P como um ponto qualquer da hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 e os ângulos α   e   β estão entre as distâncias focais e a reta P T tangente à elipse. Vamos colocar os valores dos coeficiente angular das retas que cruzam para formar β , m 2 para F ’ P e m 1 para P T , e assim apliquemos o Teorema 1.6.8

tan ⁡ β = m 2 - m 1 1 + m 1 m 2

Passo 2

Agora devemos encontrar m 1 e m 2 . Para achar m 1 basta derivar a equação da hipérbole no ponto dado. Assim temos

d x 2 a 2 - y 2 b 2 d x   = d 1 d x  

2 x a 2 - 2 y y ' b 2 = 0

2 y y ' b 2 = 2 x a 2

Agora vamos isolar y '

m 1 = y ' = b 2 x a 2 y

Agora para achar m 2 vamos usar a seguinte fórmula Δ y Δ x . Para isso usaremos os dois pontos conhecidos nesta reta: F ’ ( - c ,   0 ) e P ( x ,   y ) .

m 2 = Δ y Δ x = y x - - c =   y x + c

Aplicando os coeficientes encontrados teremos a seguinte equação

tan ⁡ β = y x + c - b 2 x a 2 y 1 + y x + c b 2 x a 2 y  

Vamos Aplicar o M.M.C e algumas manipulações nesta equação.

tan ⁡ β = a 2 y 2 - b 2 x x + c x + c a 2 y x + c a 2 y + b 2 x y x + c a 2 y

tan ⁡ β = a 2 y 2 - b 2 x x + c x + c a 2 y + b 2 x y

Agora aplicaremos distributiva

tan ⁡ β = a 2 y 2 - b 2 x 2 - b 2 x c a 2 y x + a 2 y c + b 2 x y

Agora colocaremos o termo em comum em evidência

tan ⁡ β = a 2 y 2 - b 2 x 2 - b 2 x c ( a 2 + b 2 ) y x + a 2 y c

Passo 3

Sabemos que nas hipérboles c 2 = a 2 + b 2 e x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1   ⇒ b 2 x 2 - a 2 y 2 =   a 2 b 2   . Logo temos

tan ⁡ β = - a 2 b 2 - b 2 x c c 2 y x + a 2 y c

tan ⁡ β = - b 2 a 2 + x c c y x c + a 2

tan ⁡ β = - b 2 c y

Agora farremos o mesmo para α

tan ⁡ α = m 1 - m 3 1 + m 1 m 2

Agora para achar m 3 que é coeficiente angular da reta F P e vamos usar a seguinte fórmula Δ y Δ x . Para isso usaremos os dois pontos conhecidos nesta reta: F2 ( c ,   0 ) e P ( x ,   y ) .

m 3 = Δ y Δ x =   y x - c

Assim temos

tan ⁡ α = b 2 x a 2 y - y x - c 1 + b 2 x a 2 y y x - c

Vamos Aplicar o M.M.C e algumas manipulações nesta equação.

tan ⁡ α = b 2 x x - c - a 2 y 2 x - c a 2 y x - c a 2 y + b 2 x y x - c a 2 y

Agora aplicaremos distributiva

tan ⁡ α = b 2 x x - c - a 2 y 2 x - c a 2 y + b 2 x y

tan ⁡ α = b 2 x 2 - b 2 x c - a 2 y 2 a 2 y x - a 2 y c + b 2 x y

Aplicaremos as mesmas relações ditas anterioremente para tan ⁡ β

tan ⁡ α = ( b 2 x 2 - a 2 y 2 ) - b 2 x c ( a 2 + b 2 ) x y - a 2 y c

tan ⁡ α = a 2 b 2 - b 2 x c c 2 x y - a 2 y c

Agora colocaremos o termo em comum em evidência

tan ⁡ α = - b 2 - a 2 + x c c y ( c x - a 2 )

tan ⁡ α = - b 2 c y

tan ⁡ α = tan ⁡ β =   - b 2 c y

Se tan ⁡ α = tan ⁡ β =   b 2 c y , então podemos dizer que α = β .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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