Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 69
Seja , .
(a) Mostre que é injetora.
(b) Seja e defina Encontre uma equação para a reta tangente a (x) em
Passo 1
(a)
Primeiro vamos lembrar o que é uma função injetora: é aquela que dado um valor de , só existe um que leva a função nesse valor.
Pra fazer isso podemos lembrar que se a função é injetora no intervalo, então ela também é estritamente crescente ou estritamente decrescente nesse intervalo, e para isso dizemos que se:
No intervalo dado, a função é injetiva nesse intervalo.
No nosso caso:
Concorda que no nosso caso assume apenas valores positivos no intervalo? Isso significa que a função é estritamente crescente nesse intervalo e por isso injetiva, como queríamos mostrar.
Passo 2
(b)
Agora vamos ter que puxar da memória qual é a equação da reta tangente à uma função no ponto :
Aonde
E no caso da nossa questão:
Então nossa reta tangente tem a seguinte carinha:
Agora precisamos achar .
Passo 3
Para achar temos que fazer assim:
Mas lembra? Então:
Para achar basta trocarmos por na equação original:
Fazendo
Opa opa, percebem que se colocarmos dá certo? Então vamos falar que
Voltando teremos que
Passo 4
Agora para acharmos vamos usar a regra da cadeia:
Masssss lembra que e pela propriedade de funções inversas, vale que:
Derivando essa expressão e usando a regra da cadeira:
Substituindo na nossa expressão:
Fazendo
Só que lá em cima descobrimos que,:
Achando e
Temos que:
Passo 5
Substituindo e na equação
Chegamos que a equação para a reta tangente a (x) em é:
Resposta
- Mostrado no desenvolvimento