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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.11 - Ex. 34

Determine dy.

y = ln ((x + 1)/(sqrt(x - 1)))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de y em x.

Temos que a derivada da função ln é dada por l n^' = (1)/(x) .

Temos que y é uma função composta, então usaremos a Regra da Cadeia para derivá-la (derivamos de fora pra dentro).

Passo 2

Derivando pela Regra da Cadeia, teremos:

y^' = (1)/((x + 1)/(sqrt(x - 1))) xx ((x + 1)/(sqrt(x - 1)))^'

Temos então que derivar (x + 1)/(sqrt(x - 1)) . Vamos usar a regra do quociente e a derivada da função raiz quadrada.

Passo 3

y^' = (1)/((x + 1)/(sqrt(x - 1))) xx ((x + 1)/(sqrt(x - 1)))^'

y^' = (1)/((x + 1)/(sqrt(x - 1))) xx ( (1 (sqrt(x - 1)) - (1)/(2 sqrt(x - 1)) xx 1)/((sqrt(x - 1))^2)

Vamos fazer umas manipulações algébricas pra deixar mais “bonitinho”...

y^' = (( sqrt(x - 1) ))/(x + 1) xx ((sqrt(x - 1)) - (1)/(2 sqrt(x - 1)))/((sqrt(x - 1))^2)

y^' = (1)/(x + 1) xx ((sqrt(x - 1)) - (1)/(2 sqrt(x - 1)))/(√ ( x - 1 ))

y^' = (1)/(x + 1) xx ( 1 - (1)/(2 (x - 1)) )

Resposta

A derivada final é:

d y = (1)/(x + 1) - (1)/(2 (x^2 - 1))

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