Determine dy.

y = sec^(-1)(e^(-x))

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função de y em x.

Primeiramente, sabemos que sec^(- 1) x é a função inversa da função sec x . A função arcsec x .

Vamos reescrever a função então...

y = arcsec ( e^(- x) )

Ah, agora tá melhor né? Sem mais delongas, a derivada da função arco secante é dada por:

a r c s e c ( x ) ' = (1)/(|x| sqrt(x^2 - 1))

No nosso caso é uma função composta e usaremos a Regra da Cadeia. Vamos derivar de fora pra dentro.

Passo 2

Derivando pela Regra da Cadeia, teremos:

y^' = (1)/(|e^(- x)| sqrt(( e^(- x) )^2 - 1)) xx ( e^(- x) ) '

Derivando a exponencial...

y^' = (1)/(|e^(- x)| sqrt(( e^(- x) )^2 - 1)) xx ( e^(- x) ) xx ( - 1 )

Resposta

Assim, a derivada final é:

d y = (- ( e^(- x) ))/(|e^(- x)| sqrt(e^(- 2 x) - 1))

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