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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.Exercícios Práticos - Ex. 33

Nos Exercícios 31-34, resolva a equação diferencial.

33-

y y ' = sec ⁡ y 2 sec 2 ⁡ x

Passo 1

Como y ' é d y / d x   nós temos a seguinte equação:

y d y d x = sec ⁡ y 2 sec 2 ⁡ x

Isolando os termos com y dos que tem x   nós temos:

y sec ⁡ y 2 d y = sec 2 ⁡ x   d x

Como o inverso da secante é o cosseno nós temos:

y cos ⁡ y 2   d y = sec 2 ⁡ x   d x

Passo 2

Fazendo a integral nos dois lados nós teremos:

∫ y cos ⁡ y 2 d y = ∫ sec 2 ⁡ x   d x

Fazendo a integral da esquerda nós temos que aplicar a seguinte substituição u = y 2

d u = 2 y d y

d u 2 = y   d y

Logo:

1 2 ∫ cos ⁡ u   d u =   sin ⁡ u 2 = sin ⁡ y 2 2 + c 1  

Como a derivada da função tangente é secante ao quadrado logo:

∫ sec x ⁡ d x = tan ⁡ x   + c 2

Passo 3

Substituindo os valores das integrais na equação no começo do passo 2, nós temos:

sin ⁡ y 2 2 + c 1 = tan ⁡ x + c 2

É comum explicitar-mos y para ter a resposta da EDO. O que nos dá:

sin ⁡ y 2 = 2 t a n x + c 2 - c 1  

Porém c 2 - c 1   também é uma constante e se multiplicarmos por 2 também fica uma constante. Logo:

sin ⁡ y 2 = 2 tan ⁡ x + C

y 2   = sin - 1 ⁡ ( 2 tan ⁡ x + C )

Resposta

y 2   = sin - 1 ⁡ ( 2 tan ⁡ x + C )

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