31. Se p ( x ) for o valor total da produção quando há x trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é A ( x ) = p ( x ) x Encontre A ' ( x ) . Por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se A ' ( x )0 ?Mostre que A ' ( x )0 se p ' ( x ) for maior que a produtividade média.

A ' x = x ⋅ p ' x - p x x 2 Portanto, a produtividade média A ( x ) está aumentando, o que implica que A ' x0 .

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 31

31. Se for o valor total da produção quando há trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é

Encontre . Por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se ?

Mostre que se for maior que a produtividade média.

Passo 1

Oi meus amores, bora resolver mais uma comigo?

A primeira parte se concentra na derivada da função

Que representa a produtividade média da força de trabalho em relação ao número de trabalhadores.

Ao derivar em relação a , usamos a regra do quociente.

Esta regra nos diz que para derivar uma função da forma onde são funções de , podemos aplicar a seguinte fórmula:

Aplicando isso à nossa função

Onde obtemos:

Isso nos dá a taxa de variação da produtividade média em relação ao número de trabalhadores.

Agora, para entender o significado dessa taxa de variação, analisamos os sinais dos termos na expressão.

Passo 2

Agora, para entender por que a empresa precisa empregar mais trabalhadores quando , vamos analisar a expressão.

Se isso significa que . Ou seja, o produto entre o número de trabalhadores e a taxa de mudança da produção em relação ao número de trabalhadores menos a produção total é positivo.

Isso implica que o crescimento da produção não está sendo compensado pelo aumento no número de trabalhadores .

Em outras palavras, a produção está crescendo mais rápido do que seria esperado com a adição de mais trabalhadores.

Passo 3

Por que a empresa precisa empregar mais trabalhadores nesse caso?

Se a produção está aumentando mais rapidamente do que o esperado, isso sugere que a produtividade média está diminuindo.

Portanto, para manter ou aumentar a produtividade média, a empresa precisa empregar mais trabalhadores para compensar esse declínio na produtividade média. Isso pode ocorrer porque a adição de mais trabalhadores pode reduzir a carga de trabalho individual, melhorar a eficiência operacional ou permitir a exploração de economias de escala.

Agora, para mostrar que for maior que a produtividade média:

Sabemos que , então a produtividade média é maximizada quando é igual a , já que a derivada de em relação a é

Quando isso significa que a taxa de crescimento da produção é maior do que a produtividade média da força de trabalho.

Portanto, a produtividade média está aumentando, o que implica que

Resposta

Portanto, a produtividade média está aumentando, o que implica que

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