31. Se p(x) for o valor total da produção quando há x trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é

A(x) = p(x) / x

  1. Encontre A'(x) . Por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se A'(x) > 0 ?
  2. Mostre que A'(x) > 0 se p'(x) for maior que a produtividade média.

Passo 1

Oi meus amores, bora resolver mais uma comigo?

A primeira parte se concentra na derivada da função

A ( x ) = p ( x ) x

Que representa a produtividade média da força de trabalho em relação ao número de trabalhadores.

Ao derivar A ( x ) em relação a x , usamos a regra do quociente.

Esta regra nos diz que para derivar uma função da forma f ( x ) / g x onde f x   e   g ( x ) são funções de x , podemos aplicar a seguinte fórmula:

f x g x ' = f ' x ⋅ g x - f x ⋅ g ' x g x 2

Aplicando isso à nossa função

A ( x ) = p ( x ) x

Onde f x = p x e   g x = x obtemos:

A ' x = x ⋅ p ' x - p x x 2

Isso nos dá a taxa de variação da produtividade média em relação ao número de trabalhadores.

Agora, para entender o significado dessa taxa de variação, analisamos os sinais dos termos na expressão.

Passo 2

Agora, para entender por que a empresa precisa empregar mais trabalhadores quando   A ' ( x )   >   0 , vamos analisar a expressão A ' ( x ) .

Se   A ' ( x )   >   0 , isso significa que x ⋅ p ' x - p x > 0 . Ou seja, o produto entre o número de trabalhadores e a taxa de mudança da produção em relação ao número de trabalhadores menos a produção total é positivo.

Isso implica que o crescimento da produção p ( x ) não está sendo compensado pelo aumento no número de trabalhadores x .

Em outras palavras, a produção está crescendo mais rápido do que seria esperado com a adição de mais trabalhadores.

Passo 3

Por que a empresa precisa empregar mais trabalhadores nesse caso?

Se a produção está aumentando mais rapidamente do que o esperado, isso sugere que a produtividade média A ( x ) está diminuindo.

Portanto, para manter ou aumentar a produtividade média, a empresa precisa empregar mais trabalhadores para compensar esse declínio na produtividade média. Isso pode ocorrer porque a adição de mais trabalhadores pode reduzir a carga de trabalho individual, melhorar a eficiência operacional ou permitir a exploração de economias de escala.

Agora, para mostrar que A ' ( x )   >   0     s e     p ' ( x ) for maior que a produtividade média:

Sabemos que A x = p x x , então a produtividade média A x é maximizada quando p ' x é igual a A x , já que a derivada de A x em relação a x é A ' x .  

Quando p ' x > A ( x ) isso significa que a taxa de crescimento da produção é maior do que a produtividade média da força de trabalho.

Portanto, a produtividade média A ( x ) está aumentando, o que implica que A ' x > 0 .

Resposta

  1. A ' x = x ⋅ p ' x - p x x 2
  2. Portanto, a produtividade média A ( x ) está aumentando, o que implica que A ' x > 0 .
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