Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 31
31. Se for o valor total da produção quando há trabalhadores em uma fábrica, então a produtividade média da força de trabalho da fábrica é
- Encontre . Por que a companhia precisa empregar mais trabalhadores se ?
- Mostre que se for maior que a produtividade média.
Passo 1
Oi meus amores, bora resolver mais uma comigo?
A primeira parte se concentra na derivada da função
Que representa a produtividade média da força de trabalho em relação ao número de trabalhadores.
Ao derivar em relação a , usamos a regra do quociente.
Esta regra nos diz que para derivar uma função da forma onde são funções de , podemos aplicar a seguinte fórmula:
Aplicando isso à nossa função
Onde obtemos:
Isso nos dá a taxa de variação da produtividade média em relação ao número de trabalhadores.
Agora, para entender o significado dessa taxa de variação, analisamos os sinais dos termos na expressão.
Passo 2
Agora, para entender por que a empresa precisa empregar mais trabalhadores quando , vamos analisar a expressão.
Se isso significa que . Ou seja, o produto entre o número de trabalhadores e a taxa de mudança da produção em relação ao número de trabalhadores menos a produção total é positivo.
Isso implica que o crescimento da produção não está sendo compensado pelo aumento no número de trabalhadores .
Em outras palavras, a produção está crescendo mais rápido do que seria esperado com a adição de mais trabalhadores.
Passo 3
Por que a empresa precisa empregar mais trabalhadores nesse caso?
Se a produção está aumentando mais rapidamente do que o esperado, isso sugere que a produtividade média está diminuindo.
Portanto, para manter ou aumentar a produtividade média, a empresa precisa empregar mais trabalhadores para compensar esse declínio na produtividade média. Isso pode ocorrer porque a adição de mais trabalhadores pode reduzir a carga de trabalho individual, melhorar a eficiência operacional ou permitir a exploração de economias de escala.
Agora, para mostrar que for maior que a produtividade média:
Sabemos que , então a produtividade média é maximizada quando é igual a , já que a derivada de em relação a é
Quando isso significa que a taxa de crescimento da produção é maior do que a produtividade média da força de trabalho.
Portanto, a produtividade média está aumentando, o que implica que
Resposta
- Portanto, a produtividade média está aumentando, o que implica que