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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 26

26. Suponha que uma população de bactérias inicialmente com 500 bactérias triplique a cada hora.

(a) Qual a população depois de 3 horas? Depois de 4 horas? Depois de t horas?

(b) Use o resultado de (5) da Seção 3.1 para estimar a taxa de crescimento da população de bactérias depois de 6 horas.

Passo 1

Para entendermos o que está acontecendo, vamos fazer os valores para depois de 1   h o r a , 2   h o r a s , 3   h o r a s e 4   h o r a s . Para vermos um padrão!

Q - Q u a n t i d a d e   d e   B a c t é r i a s

Após 1 hora, temos:

Q ( 1 ) = 500 × 3 = 1500

Após 2 hora, temos:

Q ( 2 ) = 1 500 × 3 = 500 × 3 2 = 4500

Após 3 hora, temos:

Q ( 3 ) = 4500 × 3 = 500 × 3 3 = 13500

Após a 4 hora, temos:

Q ( 4 ) = 13500 × 3 = 500 × 3 4 = 40500

Passo 2

Deu para ver um padrão?

É só pegarmos o anterior e multiplicarmos por 3 . Então para um t genérico:

Q ( t ) = 500 × 3 t

Passo 3

Você lembra que a derivada pode ser entendida como a taxa de variação né?

Então, vamos fazer a derivada da função   Q ( t )

d d t Q ( t ) = d d t 500 × 3 t = 500 d d t 3 t

O livro pede e a gente obedece! Vamos olhar o resultado da Seção 3.1 !!

d d t 3 t ≈ 1,10 3 t

Substituindo na expressão da derivada!

d d t Q ( t ) = 500 1,10 3 t = 550 3 t

A questão nos pede o valor para t = 6 . Então faremos isso

d d t Q ( 6 ) = 550 3 6 = 400.950 ‬

Resposta

(a)

Q ( 3 ) = 13500

Q ( 4 ) = 40500

Q ( t ) = 500 × 3 t

(b)

d d t Q ( 6 ) = 400.950

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Um ponto P move-se ao longo do gráfico de y = 1 x 2 + 1 de tal modo que a sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 5 (m/s). Qual a velocidade de y no instante em que x = 10 m ?
Um ponto move-se sobre a semicircunferência x 2 + y 2 = 5 , y ≥ 0 . Suponha d x d t0 . Determine o ponto da curva em que a velocidade de y seja o dobro da de x .
Um ponto P move-se sobre a parábola y = 3 x 2 - 2 x . Suponha que as coordenadas x t e y t de P são deriváveis e que d x d t ≠ 0 . Pergunta-se: em que ponto da parábola a velocidade da ordenada y de P
Um ponto move-se ao longo da elipse x 2 + 4 y 2 = 1 . A abscissa está variando a uma velocidade d x d t = sen ⁡ 4 t . Mostre quea) d y d t = - x sen ⁡ 4 t 4 y b) d 2 y d t 2 = - sen 2 ⁡ 4 t + 16 x y 2
A função x = f t , t ∈ I , é derivável até 2 ª ª ordem no intervalo I e seu gráfico tem o seguinte aspecto:O que é mais razoável esperar que ocorra: f ' ' t ≤ 0 ou f ' ' t0 em I ? Porquê?