Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.3 - Ex. 29
29. Suponha que o custo, em dólares, para uma companhia produzir novas linhas de jeans é
- Encontre a função custo marginal
- Encontre e explique seu resultado. O que ele prediz?
- Compare com o custo de manufaturar os primeiros jeans.
Passo 1
Falaii galerinhaa, bora resolver mais umazinha?
Vamos iniciar encontrando a função de custo marginal
Por teoria, a derivada de uma função descreve a taxa de variação instantânea da função em relação a uma variável. No contexto da economia, a função de custo total descreve o custo total de produção em função da quantidade produzida
A função de custo marginal representa a taxa de variação do custo total em relação à quantidade produzida, ou seja, quanto custo adicional é gerado pela produção de uma unidade adicional.
Para encontrar a função de custo marginal, derivamos a função de custo total em relação a usando a regra do poder, que diz que a derivada de em relação a é .
Portanto, a derivada da função de custo total em relação a nos dá a função de custo marginal .
Passo 2
Para o item (a), a função de custo total é dada por:
Para encontrar a função de custo marginal, precisamos derivar a função de custo total em relação a
Derivando termo a termo, temos:
Portanto, a função de custo marginal é:
Essa função nos dá o custo adicional de produzir uma unidade adicional de jeans para uma determinada quantidade
Passo 3
Para o item (b), vamos encontrar o custo marginal em um determinado ponto, substituímos o valor desse ponto na função de custo marginal.
No contexto do problema, estamos interessados no custo marginal quando ou seja, queremos saber quanto custo adicional é gerado ao produzir a 101ª unidade de jeans.
Para calcular o custo marginal quando simplesmente substituímos na função de custo marginal:
Isso nos diz que o custo adicional de produzir a 101ª unidade de jeans é de 11 dólares.
Passo 4
Para o item (c), a função de custo total nos dá o custo total de produzir unidades de jeans.
Para encontrar o custo de produzir um número específico de unidades, substituímos esse número na função
No nosso caso, queremos encontrar o custo de produzir os 101 primeiros jeans, então substituímos na função .
Ao comparar esse custo com o custo marginal de produzir a 101ª unidade, podemos observar a diferença entre o custo total e o custo marginal, o que nos dá insights sobre os custos fixos e variáveis envolvidos na produção.
Para encontrar o custo total de produzir os 101 primeiros jeans, e comparar com
Como esperado o custo para produzir as 101 primeiras peças é o aproximadamente o custo marginal da
Resposta
(a)
(b)
(c)