Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 10.2 - Ex. 13
Encontre e . Para quais valores de a curva é côncava para cima?
Passo 1
Eaee, tudo tranquiliho?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes expressões de uma curva parametrizada:
Queremos calcular as derivadas e .
Para isso temos que saber que a derivada primeira da curva é dada por:
Em seguida, devemos derivar novamente para encontrar a segunda derivada.
Assim, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a e substituir nessa fórmula.
Por fim, temos que calcular os valores de para o qual a curva é côncava para cima. Para isso, basta fazermos a nossa segunda derivada ser maior que zero.
Agora bora plicar!! 😉
Passo 2
Vamo começar pela derivada de em relação a .
Vamos primeiro relembrar da equação de :
Assim, derivando em relação a , temos:
Resolvendo a primeira derivada pela regra da potência e a segunda pela regra da cadeia, temos:
Agora vamos derivar !!
Sabemos que é dado da seguinte forma:
Aplicando a derivada em e resolvendo de forma análoga com a que fizemos anteriormente, vamos obter:
Passo 3
Substituindo na fórmula que mostramos no Passo 1, temos:
Simplificando a expressão, obtemos:
Essa é a nossa primeira derivada!! 😉
Passo 4
Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:
Então, vamos lembrar do que já temos:
E
Já temos tudo, então agora é só substituir:
Resolvendo a derivada pela Regra da Cadeia, obteremos:
Essa é a nossa segunda derivada!! 😉
Passo 5
Para descobrir para quais valores de a curva é côncava para cima, precisamos fazer com que a segunda derivada seja maior que zero:
Como , essa derivada segunda aí vai ser maior do que zero se:
O que ocorre quando .
Resposta
A concavidade da curva é para cima quando .