Encontre d y d x e d 2 y d x 2 . Para quais valores de t a curva é côncava para cima?

x = t - e t

y = t + e - t

Passo 1

Eaee, tudo tranquiliho?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes expressões de uma curva parametrizada:

x = t - e t

y = t + e - t

Queremos calcular as derivadas d y d x e d 2 y d x 2 .

Para isso temos que saber que a derivada primeira da curva é dada por:

d y d x = d y d t d x d t

Em seguida, devemos derivar novamente para encontrar a segunda derivada.

Assim, precisamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t e substituir nessa fórmula.

Por fim, temos que calcular os valores de t para o qual a curva é côncava para cima. Para isso, basta fazermos a nossa segunda derivada ser maior que zero.

Agora bora plicar!! 😉

Passo 2

Vamo começar pela derivada de y em relação a t .

Vamos primeiro relembrar da equação de y :

y = t + e - t

Assim, derivando em relação a t , temos:

d y d t = d d t t + d d t e - t

Resolvendo a primeira derivada pela regra da potência e a segunda pela regra da cadeia, temos:

d y d t = 1 - e - t

Agora vamos derivar x !!

Sabemos que x é dado da seguinte forma:

x = t - e t

Aplicando a derivada em x e resolvendo de forma análoga com a que fizemos anteriormente, vamos obter:

d x d t = 1 - e t

Passo 3

Substituindo na fórmula que mostramos no Passo 1, temos:

d y d x = d y d t d x d t ∴

d y d x = 1 - e - t 1 - e t ∴

d y d x = 1 - 1 e t 1 - e t ∴

d y d x = e t - 1 e t 1 - e t

Simplificando a expressão, obtemos:

d y d x = - e - t

Essa é a nossa primeira derivada!! 😉

Passo 4

Agora para calcular a derivada segunda, temos que fazer:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x = d d t d y d x d x d t

Então, vamos lembrar do que já temos:

d y d x = - e - t

E

d x d t = 1 - e t

Já temos tudo, então agora é só substituir:

d 2 y d x 2 = d d t - e - t 1 - e t

Resolvendo a derivada pela Regra da Cadeia, obteremos:

d 2 y d x 2 = e - t 1 - e t

Essa é a nossa segunda derivada!! 😉

Passo 5

Para descobrir para quais valores de t a curva é côncava para cima, precisamos fazer com que a segunda derivada seja maior que zero:

d 2 y d x 2 = e - t 1 - e t > 0

Como e - t > 0 , essa derivada segunda aí vai ser maior do que zero se:

1 - e t > 0 ∴

e t < 1

O que ocorre quando t < 0 .

Resposta

d y d x = - e - t

d 2 y d x 2 = e - t 1 - e t

A concavidade da curva é para cima quando t < 0 .

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