Encontre os pontos na curva onde a reta tangente é horizontal ou vertical. Se você tiver uma ferramenta gráfica, trace a curva.

x = 2 * cos(t)

y = sen(2t)

Passo 1

Olá, meu amigooo. A gente tem aqui a curva com parametrização:

x = 2 cos ⁡ t

y = sen ⁡ 2 t

E a gente tem que encontrar pontos onde uma reta tangente a essa curva é horizontal ou vertical.

A reta tangente é horizontal quando

d y d t = 0

E vertical quando

d x d t = 0

Então, vamos achar essas derivadas, igualas a zero para encontrar os valores de t em que isso ocorre e depois substituir na parametrização da curva para encontrar os pontos correspondentes.

Passo 2

Vamos começar por quando a reta tangente é horizontal.

y = sen ⁡ 2 t

Vamos então aplicar a derivada e então igualar a zero:

d y d t = 2 cos ⁡ 2 t

cos ⁡ 2 t = 0

Temos que o cosseno nesse valor é o de:

cos ⁡ 2 t = cos ⁡ π 2

Então o valor de t :

2 t = π 2 + n π

t = π 4 + n π 2

Passo 3

Substituindo t = π 4 na parametrização da curva para encontramos o valor dos pontos, temos:

x π 4 = 2 cos ⁡ π 4 + n π 2 = ± 2

y π 4 = sen ⁡ 2 π 4 + n π 2 = ± 1

Portanto, a reta tangente é horizontal no ponto

P 1 = ( ± 2 , ± 1 )

Passo 4

Agora vamos descobrir quando a reta tangente é vertical.

x = 2 cos ⁡ t

Derivando e igualando a zero:

d x d t = - 2 sen ⁡ t

sen ⁡ t = 0

sin ⁡ t = sin ⁡ 0

Temos então que t :

t = n π

Passo 5

Substituindo t = 0 na parametrização da curva, temos:

x 0 = 2 cos ⁡ 0 = ± 2

y 0 = sen ⁡ 2 ⋅ 0 = 0

Portanto, a reta tangente é vertical no ponto

P 2 = ( ± 2,0 )

Passo 6

Bom, vamos plotar essa curva só pra você ver como é a cara doidinha dela e tentar imaginar as retas tangentes nos pontos que a gente achou aí na questão:

Resposta

A reta tangente é horizontal no ponto

P 1 = ( ± 2 , ± 1 )

E vertical no ponto

P 2 = ( ± 2,0 )

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