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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 34

Nos exercícios 33 a 37 , encontrar o comprimento de arco da curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:

s = ∫ θ 0 θ 1 f ' θ 2 + f θ 2 d θ

Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado.

Ainda, como a função cosseno é uma função par, ou seja:

r = 1 + c o s θ = 1 + cos ⁡ - θ

Ela é simétrica em relação ao eixo polar. Portanto, pode-se fazer o cálculo de apenas metade do comprimento da curva no intervalo de 0 até π .

Passo 2

Logo, o que deve ser determinado é:

d d θ r = d d θ 1 + c o s θ = - s e n θ

Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:

s = ∫ 0 π - s e n θ 2 + 1 + c o s θ 2 d θ

s = ∫ 0 π s e n 2 θ + 1 + 2 c o s θ + c o s 2 θ d θ

Como s e n 2 x + c o s 2 x = 1 :

s = ∫ 0 π 2 + 2 c o s θ d θ = 2 ∫ 0 π 1 + c o s θ d θ

Lembrando da identidade trigonométrica:

c o s 2 n x = 1 + cos ⁡ 2 n x 2

Pode-se substituir na integral como:

s = 2 ∫ 0 π 2 c o s 2 θ 2 d θ = 2 ∫ 0 π cos ⁡ θ 2 d θ

Passo 3

Logo, resolvendo a integral:

s = 2 2 s e n θ 2 π 0

s = 4 s e n π 2 - s e n 0

s = 4

Mas como este resultado é apenas para metade da curva, então o comprimento total será:

s T = 2 s = 8   u . c .

Resposta

8   u . c .

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