Nos exercícios 35 a 43, determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.

38. z = sen x + sen y + sen (x + y) ; 0 ≤ x ≤ pi e 0 ≤ y ≤ pi .

Passo 1

Então pessoal, se esboçarmos o gráfico que mostra o domínio a ser considerado, teremos:

Derivando a função que nos foi dada e igualando a zero para determinar os pontos críticos da função e, portanto, os máximos e mínimos, teremos:

∂ z ∂ x = cos ⁡ x + cos ⁡ x + y

∂ z ∂ y = cos ⁡ y + cos ⁡ x + y

Logo:

cos ⁡ x + cos ⁡ x + y = 0 cos ⁡ y + cos ⁡ x + y = 0

Se substituirmos as equações, teremos o seguinte:

cos ⁡ x - cos ⁡ y = 0

∴ cos ⁡ x = cos ⁡ y

x = y

E essa é a primeira condição que conseguimos determinar e vai ser muito importante pra gente!

Passo 2

Substituindo a condição que encontramos na primeira equação, teremos:

cos ⁡ x + cos ⁡ 2 x = 0

2 c o s 2 x - 1 + cos ⁡ x = 0

2 c o s 2 x + cos ⁡ x - 1 = 0

Se notarmos bem, fica fácil ver que se trata de uma equação do segundo grau. Se resolvermos essa equação, teremos como raízes:

cos ⁡ x = 1 2   e cos ⁡ x = - 1

Opa, show de bola! Sabendo da equação fundamental da trigonometria, podemos fazer o seguinte:

s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

Para a primeira raíz:

s e n 2 x = 1 - - 1 2 = 0

Para a segunda raíz:

s e n 2 x = 1 - 1 2 2 = 3 4 = 3 2

Ok, guardemos esses resultados!

Passo 3

Por fim, utilizando os resultados que encontramos no passo anterior na função que nos foi dada, teremos:

z = s e n   2 x + s e n   2 x = 2 s e n   2 x

z = 0

Para o segundo ponto:

z = 3 2 + 3 2 + 3 2 = 3 3 2

Dessa forma, com o que obtivemos podemos concluir que o valor mínimo é 0 e o valor máximo é 3 3 2 . E está aí nossa análise!

Resposta

Valor de mínimo: 0 ;

Valor de máximo: 3 3 2 .

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