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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 24

Determine o plano tangente à superfície x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1 , x > 0 , y > 0 e z > 0 , que forma com os planos coordenados tetraedro de volume mínimo.

Passo 1

Foi nos dado o elipsoide com equação

x 2 4 + y 2 9 + z 2 16 = 1

Devemos achar o plano tangente a essa superfície cujas interseções com os eixos coordenados forme o tetraedro de volume mínimo.

Podemos escrever o elipsoide como a superfície de nível 1 da função

f x , y , z = x 2 4 + y 2 9 + z 2 16

O gradiente de f será

∇ f x , y , z = x 2 , 2 y 9 , z 8

Assim, a equação do plano tangente no ponto ( a ,   b ,   c ) será

x - a ,   y - b ,   z - c ⋅ ∇ f a ,   b ,   c = 0

Portanto,

x - a ⋅ a 2 + y - b ⋅ 2 b 9 + z - c ⋅ c 8 = 0

Passo 2

Queremos achar as interseções desse plano com os eixos coordenados. Fazendo x = y = 0 :

z - c c 8 = a 2 2 + 2 b 2 9 ⇒ z = c + 8 c   a 2 2 + 2 b 2 9

Fazendo x = z = 0 :

2 b y - b 9 = a 2 2 + c 2 8 ⇒ y = b + 9 2 b a 2 2 + c 2 8

Por fim, fazendo y = z = 0 :

x - a a 2 = 2 b 2 9 + c 2 8 ⇒ x = a + 2 a 2 b 2 9 + c 2 8

O volume do tetraedro será

V = 1 6 x y z = 1 6 c + 8 c   a 2 2 + 2 b 2 9 b + 9 2 b a 2 2 + c 2 8 a + 2 a 2 b 2 9 + c 2 8

Rearranjando os termos, obtemos

g a , b , c = 31104 V = 36 a 2 + 16 b 2 + 9 c 2 3 a b c

Queremos minimizar g ( a , b , c ) sujeito à restrição f a , b , c = 1 . Assim, pelo método dos multiplicadores de Lagrange, temos que encontrar ( a , b , c ) tal que

∇ g a , b , c = λ   ∇ f ( a , b , c ) f a , b , c = 1

Achar o gradiente de g é bem chato (e muito rolê), mas olha o que a restrição nos diz:

a 2 4 + b 2 9 + c 2 16 = 1

Multiplicando essa equação por 144 :

36 a 2 + 16 b 2 + 9 c 2 = 144

Assim,

g a , b , c = 144 3 a b c ⇒ h a , b , c = g a , b , c 144 3 = 1 a b c

Portanto, temos que resolver o sistema:

∇ h a , b , c = λ   ∇ f ( a , b , c ) f a , b , c = 1

Passo 3

O gradiente de f é

∇ f a , b , c = a 2 , 2 b 9 , c 8

Já o gradiente de h :

∇ h a , b , c = - 1 a 2 b c ,   - 1 a b 2 c ,   - 1 a b c 2 = - 1 a b c 1 a , 1 b , 1 c

Portanto,

a 2 = λ a ⇒ a 2 = 2 λ 2 b 9 = λ b ⇒ b 2 = 9 λ 2 c 8 = λ c ⇒ c 2 = 8 λ

Substituindo essas relações na equação f a , b , c = 1 :

2 λ 4 + 1 9 ⋅ 9 λ 2 + 8 λ 16 = 1

Assim,

λ 2 + λ 2 + λ 2 = 1 ⇒ λ = 2 3

Portanto,

a 2 = 4 3 ,             b 2 = 3             e           c 2 = 16 3

Logo,

a = 2 3 ,           b = 3             e               c = 4 3

Passo 4

Lembrando que a equação do plano é dada por

x - a ⋅ a 2 + y - b ⋅ 2 b 9 + z - c ⋅ c 8 = 0

Temos que

a x 2 + 2 b y 9 + c z 8 = a 2 2 + 2 b 2 9 + c 2 8

Substituindo:

x 3 + 2 3 9 y + z 2 3 = 2 3 + 2 + 2 3 = 10 3

Multiplicando toda a equação por 2 3 :

2 x + 4 y + z = 20 3 3

Resposta

2 x + 4 y + z = 20 3 3

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