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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 5.10 - Ex. 39

Nos exercícios 35 a 43, determinar os valores máximo e mínimo da função dada, na região indicada.

39. z = x y ; no círculo x 2 + y 2 ≤ 1 .

Passo 1

Então pessoal, inicialmente vamos esboçar o círculo em questão para facilitar nossa visualização quanto à análise, tudo bem? Temos:

Antes de analisarmos a fronteira do círculo vamos analisar os pontos críticos em seu interior, jóia? Sendo assim, derivando parcialmente a função que nos foi dada e igualando-a a zero, teremos:

∂ z ∂ x = y

∂ z ∂ y = x

Dessa forma:

y = 0 x = 0

Logo, temos que 0 ,   0 é um ponto crítico no interior do círculo!

Passo 2

Para classificarmos se o ponto crítico que encontramos é ponto de máximo, mínimo ou se é ponto de sela, devemos encontrar o determinante Hessiano, dado da seguinte forma:

H x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y ∂ 2 f ∂ y 2 ( x ,   y )  

Então temos que encontrar essas derivadas parciais aí! Sendo assim:

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 = 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 1

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 1

Substituindo, teremos:

H x ,   y = 0 1 1 0  

H 0 ,   0 = - 1 < 0

Dessa forma, pelas proposições estudadas, temos que se o determinante resulta em um valor negativo, então o ponto crítico em questão é um ponto de sela!

Passo 3

Ufa! A primeira parte da análise foi concluída, que é a análise do interior. Agora teremos que analisar a fronteira! Para x 2 + y 2 = 1 , temos:

x = 1 - y 2

Sendo assim:

z = 1 - y 2 . y

Derivando e igualando a zero:

z ' = 1 - y 2 + y . 1 2 . 1 - y 2 - 1 2 . - 2 y = 0

1 - y 2 - y 2 1 - y 2 = 0

1 - y 2 - y 2 = 0

2 y 2 = 1 ∴ y = ± 1 2

Sendo assim, para esse valor de y , temos que x vale:

x = 1 - 1 2 = ± 1 2

Passo 4

Agora o que devemos fazer é substituir os valores de y e x que encontramos na nossa função para ver os máximos e mínimos. Se fizermos isso, teremos:

f 1 2 ,   1 2 = 1 2   m á x i m o

f - 1 2 ,   - 1 2 = 1 2   ( m á x i m o )

f - 1 2 ,   1 2 = - 1 2   ( m í n i m o )

f 1 2 ,   - 1 2 = - 1 2   ( m í n i m o )

Sendo assim, pelos resultados obtidos, podemos concluir que os pontos - 1 2 ,   1 2 e 1 2 ,   - 1 2 são pontos de mínimo e apresentam valor de - 1 2 e os pontos - 1 2 ,   - 1 2 e 1 2 ,   1 2 são pontos de máximo e apresentam valor de 1 2 .

E está aí nossa análise acerca dos máximos e mínimos da função, galera!

Resposta

Pontos de mínimo: - 1 2 ,   1 2 e 1 2 ,   - 1 2 , valor: - 1 2 ;

Pontos de máximo: - 1 2 ,   - 1 2 e 1 2 ,   1 2 , valor: 1 2 .

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