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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 22

Nos exercícios 1 a 35 , calcular a integral indefinida.

Passo 1

Para iniciar o exercício, pode-se reescrever a integral, tal que:

I = 15 ∫ s e n x s e n 2 x 2 d x

Lembrando da identidade trigonométrica

s e n 2 x = 1 - c o s 2 x

Tem-se:

I = 15 ∫ s e n x 1 - c o s 2 x 2 d x

E expandindo o termo ao quadrado:

I = 15 ∫ s e n x 1 - 2 c o s 2 x + c o s 4 x   d x

Passo 2

Separando a integral em uma soma de integrais:

I = 15 ∫ s e n x   d x - 2 ∫ s e n x   c o s 2 x   d x + ∫ s e n x   c o s 4 x   d x

Sendo que a segunda e terceira integrais podem ser resolvidas por substituição através de u = c o s x e d u = - s e n x d x . Dessa forma:

I = 15 - c o s x - 2 ∫ u 2 - d u + ∫ u 4 - d u

I = 15 - c o s x + 2 u 3 3 - u 5 5 + C

Passo 3

Retornando o resultado das integrais para a variável original:

I = 15 - c o s x + 2 c o s 3 x 3 - c o s 5 x 5 + C

I = - 15 c o s x + 10 c o s 3 x - 3 c o s 5 x + C

Resposta

- 15 c o s x + 10 c o s 3 x - 3 c o s 5 x + C

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