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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.Exercícios Práticos - Ex. 38

Nos Exercícios 35-38, resolva o problema de valor inicial.

38-

y - 2 d x d y = e x e 2 x + 1 ,   y 0 = 1

Passo 1

Isolando as partes que contém x das de y nós teremos:

e 2 x + 1 e x d x = y 2 d y

O que pode ser escrito da seguinte forma:

e 2 x e x + 1 e x d x = y 2 d y

O que é:

( e x + e - x   ) d x = y 2 d y

Passo 2

Agora integrando os dois lados nós teremos:

∫ e x + e - x d x = ∫ y 2 d y

Cuja integral é:

e x - e - x + c = y 3 3

Passo 3

Nossa condição inicial diz que y = 1 em x = 0 , logo se aplicarmos esses valores na nossa expressão para encontrar a constante nós teremos:

e 0 - e - 0 + c = 1 3

c = 1 3

Agora aplicando o valor de c em e x - e - x + c = y 3 3 nós teremos:

y 3 3 = e x - e - x + 1 3

y 3 = 3 e x - 3 e - x + 1

y = 3 e x - e - x + 1 1 3

Resposta

y = 3 e x - e - x + 1 1 3

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