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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 47

Calcule a integral indefinida:

int (x^3)/(sqrt(x^2 - 9)) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 - a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sec theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = 3 sec theta

d x = 3 sec theta tg theta d theta

Substituindo temos:

int (x^3)/(sqrt(x^2 - 9)) d x = int ((3 sec theta)^3)/(sqrt((3 sec theta)^2 - 9)) 3 sec theta tg theta d theta = int (81 sec^4 theta tg theta)/(sqrt(9 sec^2 theta - 9)) d theta =

= int (81 sec^4 theta tg theta)/(sqrt(9 (sec^2 theta - 1))) d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (81 sec^4 theta tg theta)/(sqrt(9 (sec^2 theta - 1))) d theta = int (81 sec^4 theta tg theta)/(sqrt(9 tg^2 theta)) d theta = int (81 sec^4 theta tg theta)/(3 tg theta) d theta = 27 int sec^4 theta d theta

Passo 2

Para calcular essa integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

int sec^n u d u = (1)/(n - 1) sec^(n - 2) u tg u + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) u d u

Aplicando vamos ter:

int sec^4 theta d theta = (1)/(4 - 1) sec^(4 - 2) theta tg theta + (4 - 2)/(4 - 1) int sec^(4 - 2) theta d theta

int sec^4 theta d theta = (1)/(3) sec^2 theta tg theta + (2)/(3) int sec^2 theta d theta

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sec^2 x d x = tg x + C

Agora é só aplicar:

(2)/(3) int sec^2 theta d theta = (2)/(3) tg theta + C

Vamos juntar tudo:

int (x^3)/(sqrt(x^2 - 9)) d x = 27 int sec^4 theta d theta = 27 ((1)/(3) sec^2 theta tg theta + (2)/(3) int sec^2 theta d theta) =

= 27 ((1)/(3) sec^2 theta tg theta + (2)/(3) tg theta) + C = 9 sec^2 theta tg theta + 18 tg theta + C

Passo 4

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 3 sec theta , ou seja, sec theta = (x)/(3) , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar tg theta :

Assim o valor de tg theta é:

tg theta = (sqrt(x^2 - 9))/(3)

Pronto, ficamos então com:

int (x^3)/(sqrt(x^2 - 9)) d x = 9 sec^2 theta tg theta + 18 tg theta + C = 9 ((x)/(3))^2 (sqrt(x^2 - 9))/(3) + 18 (sqrt(x^2 - 9))/(3) + C =

= (x^2 sqrt(x^2 - 9))/(3) + 6 sqrt(x^2 - 9) + C

Resposta

int (x^3)/(sqrt(x^2 - 9)) d x = (x^2 sqrt(x^2 - 9))/(3) + 6 sqrt(x^2 - 9) + C

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