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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 49

Calcule a integral indefinida:

int x^2 sqrt(4 - x^2) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(a^2 - x^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a sen theta e utilizar a identidade trigonométrica sen^2 theta + cos^2 theta = 1 :

x = 2 sen theta -> theta = arcsen ((x)/(2))

d x = 2 cos theta d theta

Substituindo temos:

int x^2 sqrt(4 - x^2) d x = int 4 sen^2 theta sqrt(4 - 4 sen^2 theta) 2 cos theta d theta =

= int 4 sen^2 theta sqrt(4 (1 - sen^2 theta)) 2 cos theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int 4 sen^2 theta sqrt(4 (1 - sen^2 theta)) 2 cos theta d theta = int 4 (1 - cos^2 theta) sqrt(4 cos^2 theta) 2 cos theta d theta =

= int 4 (1 - cos^2 theta) 2 cos theta 2 cos theta d theta = 16 int (1 - cos^2 theta) cos^2 theta d theta =

= 16 int cos^2 theta - cos^4 theta d theta = 16 int cos^2 theta d theta + 16 int - cos^4 theta d theta

Passo 2

Para calcular a segunda integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

int cos^n u d u = (1)/(n) cos^(n - 1) u sen u + (n - 1)/(n) int cos^(n - 2) u d u

Aplicando vamos ter:

int cos^4 theta d theta = (1)/(4) cos^(4 - 1) theta sen theta + (4 - 1)/(4) int cos^(4 - 2) theta d theta

int cos^4 theta d theta = (1)/(4) cos^3 theta sen theta + (3)/(4) int cos^2 theta d theta

int cos^4 theta d theta = (1)/(4) cos^3 theta sen theta + (3)/(4) int (1)/(2) + (1)/(2) cos 2 theta d theta

int cos^4 theta d theta = (1)/(4) cos^3 theta sen theta + (3)/(4) (int (1)/(2) d theta + int (1)/(2) cos 2 theta d theta)

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int k d x = k x + C

int cos x d x = sen x + C

Agora é só aplicar:

int (1)/(2) d theta + int (1)/(2) cos 2 theta d theta = (1)/(2) theta + (1)/(4) sen 2 theta + C

Passo 4

Agora é só juntar tudo:

int x^2 sqrt(4 - x^2) d x = 16 int cos^2 theta d theta + 16 int - cos^4 theta d theta =

= 16 ((1)/(2) theta + (1)/(4) sen 2 theta) - 16 ((1)/(4) cos^3 theta sen theta + (3)/(4) (int (1)/(2) d theta + int (1)/(2) cos 2 theta d theta)) =

= 8 theta + 4 sen 2 theta + (- 4 cos^3 theta sen theta - 12 ((1)/(2) theta + (1)/(4) sen 2 theta)) =

= 8 theta + 4 sen 2 theta - 4 cos^3 theta sen theta - 6 theta - 3 sen 2 theta = 2 theta + sen 2 theta - 4 cos^3 theta sen theta

Passo 5

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x , temos que x = 2 sen theta , ou seja, sen theta = (x)/(2) , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar cos theta e sen 2 theta :

Assim:

cos theta = (sqrt(4 - x^2))/(2)

sen 2 theta = 2 sen theta cos theta = 2 * (x)/(2) * (sqrt(4 - x^2))/(2) = (x sqrt(4 - x^2))/(2)

Passo 6

Pronto, agora é só substituir e ficamos então com:

int x^2 sqrt(4 - x^2) d x = 2 theta + sen 2 theta - 4 cos^3 theta sen theta + C =

= 2 arcsen ((x)/(2)) + (x sqrt(4 - x^2))/(2) - 4 ((sqrt(4 - x^2))/(2))^3 (x)/(2) + C =

= 2 arcsen ((x)/(2)) + (x sqrt(4 - x^2))/(2) - 4 ((sqrt(4 - x^2))/(2))^3 (x)/(2) + C =

= 2 arcsen ((x)/(2)) + (x sqrt(4 - x^2))/(2) - 2 x ((4 - x^2) sqrt(4 - x^2))/(8)^3 + C =

= 2 arcsen ((x)/(2)) + (x sqrt(4 - x^2))/(2) - x ((4 - x^2) sqrt(4 - x^2))/(4)^3 + C

Resposta

int x^2 sqrt(4 - x^2) d x = 2 arcsen ((x)/(2)) + (x sqrt(4 - x^2))/(2) - x ((4 - x^2) sqrt(4 - x^2))/(4)^3 + C

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