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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 66

Calcule a integral indefinida:

int (sqrt(1 + x^2) + 2 x) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 + a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = tg theta

d x = sec^2 theta d theta

Substituindo temos:

int (sqrt(1 + x^2) + 2 x) d x = int (sqrt(1 + tg^2 theta) + 2 tg theta) sec^2 theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (sqrt(1 + tg^2 theta) + 2 tg theta) sec^2 theta d theta = int (sqrt(sec^2 theta) + 2 tg theta) sec^2 theta d theta =

= int (sec theta + 2 tg theta) sec^2 theta d theta = int sec^3 theta d theta + int 2 tg theta sec^2 theta d theta

Passo 2

Para calcular a primeira integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

int sec^n u d u = (1)/(n - 1) sec^(n - 2) u tg u + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) u d u

Aplicando vamos ter:

int sec^3 theta d theta = (1)/(3 - 1) sec^(3 - 2) theta tg theta + (3 - 2)/(3 - 1) int sec^(3 - 2) theta d theta

int sec^3 theta d theta = (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) int sec theta d theta

Agora vamos usar uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int sec x d x = ln |sec x + tg x| + C

Agora é só aplicar:

int sec theta d theta = ln |sec theta + tg theta| + C

Passo 3

Para calcular a segunda integral vamos usar substituição:

u = tg theta

d u = sec^2 theta d theta

Aplicando vamos ter:

int 2 tg theta sec^2 theta d theta = int 2 u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

int 2 u d u = 2 int u d u = 2 (u^(1 + 1))/(1 + 1) + C = 2 (u^2)/(2) + C = u^2 + C

Passo 4

Pronto, agora vamos juntar tudo:

int (sqrt(1 + x^2) + 2 x) d x = int sec^3 theta d theta + int 2 tg theta sec^2 theta d theta =

= (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) int sec theta d theta + int 2 u d u = (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) ln |sec theta + tg theta| + u^2 + C

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

int (sqrt(1 + x^2) + 2 x) d x = (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) ln |sec theta + tg theta| + u^2 + C =

= (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) ln |sec theta + tg theta| + tg^2 theta + C

Temos que x = tg theta , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec theta e tg theta :

Assim os valores de sec theta e tg theta são:

sec theta = (1)/(cos theta) = (1)/((1)/(sqrt(1 + x^2))) = sqrt(1 + x^2)

tg theta = (x)/(1) = x

Pronto, ficamos então com:

int (sqrt(1 + x^2) + 2 x) d x = (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) ln |sec theta + tg theta| + tg^2 theta + C =

= (1)/(2) * sqrt(1 + x^2) * x + (1)/(2) ln |sqrt(1 + x^2) + x| + x^2 + C = (x sqrt(1 + x^2))/(2) + (1)/(2) ln |sqrt(1 + x^2) + x| + x^2 + C

Resposta

int (sqrt(1 + x^2) + 2 x) d x = (x sqrt(1 + x^2))/(2) + (1)/(2) ln |sqrt(1 + x^2) + x| + x^2 + C

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