Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 75
Verifique se a integral imprópria converge. Em caso positivo, determine seu valor.
Passo 1
Aqui temos que em existe uma descontinuidade infinita em , assim vamos ter que a integral é igual ao limite:
Então vamos lá, a integral imprópria converge se esse limite existir, e diverge se não existir, para saber isso vamos calcular essa integral e depois aplicar no limite.
Passo 2
Vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:
Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, vamos fazer e utilizar a identidade trigonométrica :
Substituindo temos:
Agora usando a identidade trigonométrica:
Passo 3
Agora é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Agora é só aplicar:
Passo 4
Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original , temos que , ou seja, , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar :
Assim:
Substituindo ficamos com:
Passo 5
Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Agora vamos voltar ao limite:
Pronto, o limite não existe, então a integral diverge.
Resposta
A integral diverge