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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.4 - Ex. 39

37-48. Calcule a integral.

39. int (d x)/(sqrt(3 + 2 x - x^2))

Passo 1

Então pessoal, a integral que nos foi dada é muito complicada de se resolver da maneira que está, então o que devemos fazer é completar quadrado no denominador, a fim de facilitar nossa vida, ok? Completando o quadrado, teremos:

3 + 2 x - x^2 = - (x^2 - 2 x) + 4 - 1

3 + 2 x - x^2 = 4 - (x - 1)^2

Substituindo na nossa integral:

int (d x)/(sqrt(3 + 2 x - x^2)) = int (d x)/(sqrt(4 - (x - 1)^2))

Agora sim conseguimos resolver!

Passo 2

Para resolver a integral vamos utilizar uma substituição simples, saca só:

u = x - 1

Disso tiramos que:

d u = d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

int (d x)/(sqrt(4 - (x - 1)^2)) = int (d u)/(sqrt(4 - u^2))

E como vimos na seção 4, essa é uma integral tabelada e seu resultado é:

int (d u)/(sqrt(4 - u^2)) = a r c sin (u)/(a) + C

Como, para o nosso caso, a = 2 , então:

int (d x)/(sqrt(3 + 2 x - x^2)) = a r c sin ((x - 1)/(2)) + C

E esse é o nosso resultado, galera! 😉

Resposta

int (d x)/(sqrt(3 + 2 x - x^2)) = a r c sin ((x - 1)/(2)) + C

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2. Seja f x uma função contínua. a) Mostre que a mudança de variável u = s e n ( x ) transforma a integral ∫ f s e n x ⋅ cos ⁡ x d x em ∫ f u d u
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