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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 38

Nos exercícios 38 e 39, prove a fórmula dada, mostrando que a derivada do segundo membro é igual ao integrando.

3 8 )   ∫ d u a ² + u ² = 1 a t g - 1 u a + C  

Passo 1

Para provar a igualdade precisamos derivar 1 a t g - 1 u a + C e verificar se é igual ao integrando d u a ² + u ² .

Derivando:

D u 1 a t g - 1 u a + C = 1 a . D u ( t g - 1 u a ) + D u ( C )

Lembrando que a derivada de uma constante é 0:

D u 1 a t g - 1 u a + C = 1 a . D u ( t g - 1 u a )

Segundo o Teorema 8.2.3:

D u t g - 1 u a = 1 1 + u 2 a 2 . D u u a = a 2 a 2 + u 2 . 1 a = a a 2 + u 2

Então:

1 a . D u t g - 1 u a = 1 a 2 + u 2

Concluindo:

D u 1 a t g - 1 u a + C = 1 a 2 + u 2

Como a derivada do segundo termo é igual ao integrando, nós comprovamos a igualdade fornecida pelo enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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