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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.5 - Ex. 1

Prove D_x (c o t g x) = - c o s e c ² x

Passo 1

Sabemos que c o t g (x) = (1)/(t g ( x )) , ou seja, c o t g ( x ) = (c o s ( x ))/(s e n ( x ))

Assim nossa equação fica:

D_x ((cos (x))/(s e n (x))) = - c o s e c ² ( x )

Usaremos a regra do quociente para derivar as funções.

Regra do quociente:

D_x ((f (x))/(g (x))) = (D_x (f ( x )) * g ( x ) - D_x (g ( x )) * (f ( x )))/((g ( x ))^2)

Passo 2

Aplicando na função que temos:

D_x ((cos (x))/(s e n (x))) = (D_x (c o s x) * (s e n x) - D_x (s e n x) * (c o s x))/((s e n x)^2)

= (( - s e n x ) * (s e n x) - ( c o s x ) * ( c o s x ))/(( s e n x ) ²)

= (- s e n^2 x - c o s ² x)/(( s e n x ) ²)

= (- ( s e n^2 x + c o s^2 x ))/(( s e n x ) ²)

Passo 3

Pela identidade trigonométrica podemos obter duas informações:

s e n^2 ( x ) + c o s^2 ( x ) = 1

(1)/(s e n ( x )) = c o s e c ( x )

Passo 4

Substituindo no nosso resultado:

D_x ((cos (x))/(s e n (x))) = - ((s e n^2 x + c o s^2 x))/((s e n x)^2)

= - (1)/(s e n^2 x) = - c o s e c ² x

Logo:

D_x (c o t g x) = - c o s e c ² x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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