Resolva a integral abaixo:

32 –

∫ - π   π 1 - c o s 2 t 3 2   d t

Passo 1

Dada a identidade:

cos 2 ⁡ x + s e n 2 x = 1 ; sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

∫ - π   π s e n 2 t 3 2   d t = ∫ - π   π s e n 2 t 3   d t = ∫ - π   π s e n 6 t   d t = ∫ - π   π s e n 3 t   d t

Primeiramente vamos ter expadir a expressão:

Se observarmos os intervalos de derivação, vão de - π < 0 > π

Inserindo na integral:

- ∫ - π 0 s e n 3 t   d t + ∫ 0 π s e n 3 t   d t

s e n 3 t = s e n 2 t ⋅ s e n   t = ( 1 - cos 2 ⁡ t ) ⋅ s e n   t

Passo 2

Substituindo na integral:

- ∫ - π 0 ( 1 - cos 2 ⁡ t )   s e n   t d t + ∫ 0 π ( 1 - cos 2 ⁡ t )   s e n   t   d t

Utilizando a substituição udu:

u = cos ⁡ t

d u =   - s e n   t   d t

d t = 1 d u =   - 1 s e n   t

Inserindo na integral:

- ∫ - π 0 1 - u 2 s e n   t ⋅ - 1 s e n   t d t + ∫ 0 π 1 - u 2 s e n   t ⋅ - 1 s e n   t d t

Assim:

- ∫ - π 0 - 1 - u 2 d u + ∫ 0 π - 1 - u 2   d u

+ ∫ - π 0 1 - u 2 d u - ∫ 0 π 1 - u 2   d u

Resolvendo as integrais:

u - u 3 3 - π 0 - u - u 3 3 0 π

Passo 3

Para u = cos ⁡ t

cos ⁡ t - c o s 3 t 3 - π 0 - cos ⁡ t - c o s 3 t 3 0 π

Passo 4

Aplicando os limites de integração:

cos ⁡ 0 - cos 3 ⁡ 0 3 - cos ⁡ - π - cos 3 ⁡ - π 3 - cos ⁡ π - cos 3 ⁡ π 3 - cos ⁡ 0 - cos 3 ⁡ 0 3

Dado:

cos ⁡ 0 = 1 ; cos ⁡ - π =   - 1 ; cos ⁡ π = - 1

1 - 1 3 - - 1 - - 1 3 - - 1 - - 1 3 - 1 ⁡ - 1 3

Organizando as operações de sinais:

1 - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 - 1 3 + 1 - 1 3  

Mmc = 3

3 - 1 + 3 - 1 + 3 - 1 + 3 - 1 3 = 12 - 4 3 = 8 3

Resposta

8 3

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