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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 32

Resolva a integral abaixo:

32 –

int_(- pi )^(pi) (1 - c o s^2 t)^((3)/(2)) d t

Passo 1

Dada a identidade:

cos^2 x + s e n^2 x = 1 ; sen^2 x = 1 - cos^2 x

int_(- pi )^(pi) (s e n^2 t)^((3)/(2)) d t = int_(- pi )^(pi) sqrt((s e n^2 t)^3) d t = int_(- pi )^(pi) sqrt(s e n^6 t) d t = int_(- pi )^(pi) |s e n^3 t| d t

Primeiramente vamos ter expadir a expressão:

Se observarmos os intervalos de derivação, vão de - pi < 0 > pi

Inserindo na integral:

- int_(- pi)^0 s e n^3 t d t + int_0^(pi) s e n^3 t d t

s e n^3 t = s e n^2 t * s e n t = ( 1 - cos^2 t ) * s e n t

Passo 2

Substituindo na integral:

- int_(- pi)^0 ( 1 - cos^2 t ) s e n t d t + int_0^(pi) ( 1 - cos^2 t ) s e n t d t

Utilizando a substituição udu:

u = cos t

d u = - s e n t d t

d t = (1)/(d u) = - (1)/(s e n t)

Inserindo na integral:

- int_(- pi)^0 (1 - u^2) s e n t * - (1)/(s e n t) d t + int_0^(pi) (1 - u^2) s e n t * - (1)/(s e n t) d t

Assim:

- int_(- pi)^0 - (1 - u^2) d u + int_0^(pi) - (1 - u^2) d u

+ int_(- pi)^0 (1 - u^2) d u - int_0^(pi) (1 - u^2) d u

Resolvendo as integrais:

[u - (u^3)/(3)]_(- pi)^0 - [u - (u^3)/(3)]_0^(pi)

Passo 3

Para u = cos t

[cos t - (c o s^3 t)/(3)]_(- pi)^0 - [cos t - (c o s^3 t)/(3)]_0^(pi)

Passo 4

Aplicando os limites de integração:

([cos 0 - (cos^3 0)/(3)] - [cos - pi - (cos^3 - pi)/(3)]) - (([cos pi - (cos^3 pi)/(3)] - [cos 0 - (cos^3 0)/(3)]))

Dado:

cos 0 = 1 ; cos - pi = - 1 ; cos pi = - 1

([1 - (1)/(3)] - [- 1 - (- 1)/(3)]) - (([- 1 - (- 1)/(3)] - [1 - (1)/(3)]))

Organizando as operações de sinais:

(1 - (1)/(3) + 1 - (1)/(3) + 1 - (1)/(3) + 1 - (1)/(3))

Mmc = 3

(3 - 1 + 3 - 1 + 3 - 1 + 3 - 1)/(3) = (12 - 4)/(3) = (8)/(3)

Resposta

(8)/(3)

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