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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 39

Nos exercícios 38 e 39, prove a fórmula dada, mostrando que a derivada do segundo membro é igual ao integrando.

39 )   ∫ d u u u ² + a ² = 1 a sec - 1 ⁡ u a + C  

Passo 1

Para provar a igualdade precisamos derivar 1 a sec - 1 ⁡ u a + C   e verificar se é igual ao integrando d u u u ² + a ² .

Derivando:

D u 1 a sec - 1 ⁡ u a + C   = 1 a . D u ( s e c - 1 u a ) + D u ( C )

Lembrando que a derivada de uma constante é 0:

D u 1 a sec - 1 ⁡ u a + C = 1 a . D u ( s e c - 1 u a )

Segundo o Teorema 8.2.5:

D u s e c - 1 u a = 1 u a u 2 a ² - 1 . D u u a = 1 u a ² u ² - a ² . 1 a = a ² u u ² - a ² . 1 a = a u u ² - a ²

Então:

1 a . D u s e c - 1 u a = 1 u u ² - a ²

Concluindo:

D u 1 a sec - 1 ⁡ u a + C   = 1 u u ² - a ²

Como a derivada do segundo termo é igual ao integrando, nós comprovamos a igualdade fornecida pelo enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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