Enunciado

Ache as assíntotas horizontal e vertical do gráfico de f , determinando o seguinte:

Os extremos relativos de f ;

Os pontos de inflexão do gráfico de f ;

Os intervalos em que f é crescente

Os intervalos em que f é decrescente;

Onde o gráfico é côncavo para cima;

Onde o gráfico é côncavo para baixo;

A inclinação de qualquer tangente de inflexão;

As assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem

f x = 2 tg ⁡ 1 2 x ,     x ∈ - π , π

Passo 1

Vamos começar olharando as assíntotas:

Vamos começar pela assíntota horizontal.

Assíntota horizontal: fazer o limite no infinito. Ou seja,

lim x → + ∞ ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ f x

Com esse intervalo que ele fechou, não vai existir assíntota, porque a função não vai para o infinito.

Então ele não tem assíntota horizontal, nem as oblíquoas.

Passo 2

Vamos para as verticais. Para isso, temos que procurar algum valor de x que faça o limite ir para . Normalmente procuramos quando o denominador da fração for 0 , a tangente é uam fração

2 tg ⁡ 1 2 x = 2 sen ⁡ 1 2 x cos ⁡ 1 2 x

Então quando o coseno for 0 , são as possíveis assíntotas verticiais.

Mas aqui vai a minha dica para vocês, no caso da tangente as assíntotas verticais são:

x = π 2 + k π

E a tangente vai para + ∞ pela esquerda e - ∞ pela direita

Mas aqui temos tg ⁡ 1 2 x

Então as assíntotas serão:

1 2 x = π 2 + k π

x = π + 2 k π

Mas o intervalo vai de - π até π . Vamos ter k = 0 e k = - 1

x = π

E

x = π - 2 π = - π

Passo 3

Vamos aos extremos e os intervalos de crescimento e decrescimento. Para isso temos que analisar o sinal de f ' x .

f ' x = sec 2 ⁡ 1 2 x

Lembrando que ele limitou o x entre - π e π .

Isso é a secante ao quadrado, ou seja, é um termo ao quadrado, vai ser sempre positivo.

f ' x > 0 ⟷ x ∈ - π , π

A função é crescente se f ' x > 0 e decrescente se f ' x < 0 , então:

C r e s c e n t e ⟷ x ∈ - π , π

Passo 4

Agora vamos ver os extremos. Pelo teste da primeira derivada, teremos máximo quando a função vai de crescente para decrescente, e mínimo quando a função for de decrescente para crescente.

Como a função é sempre crescente, ela não vai ter extremo.

Passo 5

Vamos agora para a concavidade e os pontos de inflexão. A função é côncava para cima se f ' ' x > 0 e côncava para baixo se f ' ' x < 0 .

f ' ' x = 2 sec ⁡ 1 2 x sec ⁡ 1 2 x tg ⁡ 1 2 x

f ' ' x = 2 sec 2 ⁡ 1 2 x tg ⁡ 1 2 x

O sinal vai depender so de tg ⁡ 1 2 x , porque sec 2 ⁡ 1 2 x é um termo ao quadrado.

A tg ⁡ θ vai ser positivo entre 0 e π 2 , e vai ser negativa em π 2 e π , somando k π nos extremos também, com k sendo inteiro.

tg ⁡ θ > 0 ⟷ θ ∈ 0 , π 2 + k π

tg ⁡ θ < 0 ⟷ θ ∈ π 2 , π + k π

Mas aali temo 1 2 x e não x , vamos fazer:

θ = 1 2 x

tg ⁡ 1 2 x > 0 ⟷ 1 2 x ∈ 0 , π 2 + k π

tg ⁡ 1 2 x < 0 ⟷ 1 2 x ∈ π 2 , π + k π

Arrumando isso, ao multiplicar o intervalo por 2 , vamso ter

tg ⁡ 1 2 x > 0 ⟷ x ∈ 0 , π + 2 k π

tg ⁡ 1 2 x < 0 ⟷ x ∈ π , 2 π + 2 k π

Vamso pegar primeiro k = 0

tg ⁡ 1 2 x > 0 ⟷ x ∈ 0 , π

tg ⁡ 1 2 x < 0 ⟷ x ∈ π , 2 π

Temos que pegsar a primeira parte só porque o intervalo é até π .

Vamos para o outro lado com k = - 1

tg ⁡ 1 2 x > 0 ⟷ x ∈ 0 , π - 2 π

tg ⁡ 1 2 x < 0 ⟷ x ∈ π , 2 π - 2 π

Arrumando isso

tg ⁡ 1 2 x > 0 ⟷ x ∈ - 2 π , - π

tg ⁡ 1 2 x < 0 ⟷ x ∈ - π , 0

Vamos pegar só o segundo, porque o intervalo começa em - π

Os intervalos que ficaram foram:

tg ⁡ 1 2 x > 0 ⟷ x ∈ 0 , π

tg ⁡ 1 2 x < 0 ⟷ x ∈ - π , 0

Vams ter

f ' ' x > 0 ⟷ x ∈ 0 , π

f ' ' x < 0 ⟷ x ∈ - π , 0

Então:

x ∈ - π , 0 → c ô n c a v a   p a r a   b a i x o

x ∈ 0 , π → c ô n c a v a   p a r a   c i m a

Isso nos diz que em:

x = 0

f x muda de concavidade, então é um ponto de inflexão.

Passo 6

Para terminar vamos ao esboço. Para isso, precisamos juntar todas as informações.

  • Assíntotas verticais: x = π , x = - π
  • C r e s c e n t e ⟷ x ∈ - π , π
  • x ∈ - π , 0 → c ô n c a v a   p a r a   b a i x o
  • x ∈ 0 , π → c ô n c a v a   p a r a   c i m a
  • x = 0 , ponto de inflexão
  • Ele pede també a tangente de inflexão que nada mais é que a derivada no ponto de inflexão

    f ' 0 = sec 2 ⁡ 1 2 0 = sec 2 ⁡ 0 = 1

    • Tangente de inflexão: f ' 0 = 1
    • Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:

      Resposta

    • Assíntotas verticais: x = π , x = - π
    • C r e s c e n t e ⟷ x ∈ - π , π
    • x ∈ - π , 0 → c ô n c a v a   p a r a   b a i x o
    • x ∈ 0 , π → c ô n c a v a   p a r a   c i m a
    • x = 0 , ponto de inflexão

    Ele pede també a tangente de inflexão que nada mais é que a derivada no ponto de inflexão

    f ' 0 = sec 2 ⁡ 1 2 0 = sec 2 ⁡ 0 = 1

  • Tangente de inflexão: f ' 0 = 1

Vamos para o gráfico, ele vai ficar assim:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Represente graficamente as equações dos Exercícios 9-58 seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos loc
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