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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 41

Nos exercícios de 39 a 44, ache a área da região, tomando como medida da altura do i - é s i m o retângulo   f ( m i ) , onde m i é o ponto médio do i - é s i m o subintervalo. Sugestão: m i = 1 2 x i + x i - 1 .

41. A região do Exercício 23.

Passo 1

A região do exercício 23 é:

O intervalo da região será [ 1,4 ] e a função é f ( x ) = 2 x . Sendo assim,

Δ x = 4 - 1 n = 3 n

m i = 1 2 x i + x i - 1

f m i = 2 1 2 x i + x i - 1 ⏟ m i = 1 + 3 i n + 1 + 3 i - 1 n

f m i = n + 3 i + n + 3 i - 3 n = 6 i + ( 2 n - 3 ) n

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f m i Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 6 i + ( 2 n - 3 ) n 3 n   = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 ∑ i = 1 n 6 i + 2 n - 3

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 ∑ i = 1 n 6 i + 2 n - 3

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 6 ∑ i = 1 n i + ( 2 n - 3 ) ∑ i = 1 n 1

Passo 2

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2    

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 6 n ( n + 1 ) 2 + ( 2 n - 3 ) n

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 3 n ( n + 1 ) + ( 2 n - 3 ) n

A = 3 lim n → + ∞ ⁡ 3 n n 1 + 1 n + 2 - 3 n n n

A = 3 ⁡ 3 1 + 0 + 2 - 0 = 3 5 = 15

Logo, a área é 15   u . a .

Resposta

A = 15   u . a

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Expresse a integral como um limite de somas. Depois, calcule, usando um sistema de computação álgébrica para encontrar a soma e o limite. 32 . ∫ 2 10 x 6 d x
27. Demonstre que ∫ a b x d x = b 2 - a 2 2 .
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Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral. ∫ 0 2 ( 2 - x ² ) . d x ²
Expresse a integral como um limite de somas. Não calcule o limite. 30 . ∫ 1 10 ( x - 4 ln ⁡ x ) d x