Nos exercícios de 39 a 44, ache a área da região, tomando como medida da altura do i - ésimom retângulo f(mi) , onde m_i é o ponto médio do i - é simo subintervalo. Sugestão: m_i = 1 / 2 * (x_i + x_{i-1}) .

41. A região do Exercício 23.

Passo 1

A região do exercício 23 é:

O intervalo da região será [ 1,4 ] e a função é f ( x ) = 2 x . Sendo assim,

Δ x = 4 - 1 n = 3 n

m i = 1 2 x i + x i - 1

f m i = 2 1 2 x i + x i - 1 ⏟ m i = 1 + 3 i n + 1 + 3 i - 1 n

f m i = n + 3 i + n + 3 i - 3 n = 6 i + ( 2 n - 3 ) n

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f m i Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 6 i + ( 2 n - 3 ) n 3 n   = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 ∑ i = 1 n 6 i + 2 n - 3

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 ∑ i = 1 n 6 i + 2 n - 3

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 6 ∑ i = 1 n i + ( 2 n - 3 ) ∑ i = 1 n 1

Passo 2

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2    

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 6 n ( n + 1 ) 2 + ( 2 n - 3 ) n

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 3 n ( n + 1 ) + ( 2 n - 3 ) n

A = 3 lim n → + ∞ ⁡ 3 n n 1 + 1 n + 2 - 3 n n n

A = 3 ⁡ 3 1 + 0 + 2 - 0 = 3 5 = 15

Logo, a área é 15   u . a .

Resposta

A = 15   u . a

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