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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.2 - Ex. 24

Use a forma da definição de integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.

∫ 0 5 ( 1 + 2 x ³ ) . d x

Passo 1

Muito bem galera, vamos relembrar o Teorema 4:

Usando como base este Teorema:

∫ 0 5 ( 1 + 2 x ³ ) . d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n ( 1 + 2 x i 3 ) . ∆ x

Precisamos saber de duas coisas, x i   e   ∆ x . Começando por ∆ x :

∆ x = 5 - 0 n = 5 n

E agora x i :

x i = 0 + i . 5 n = 5 i n

Colocando no limite:

= lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 2 5 i n 3 . 5 n

= lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 1 + 2 . 125 i 3 n 3 . 5 n

Como o valor de n não vai variar podemos tirá-lo do somatório:

= lim n → ∞ ⁡ 5 n . ∑ i = 1 n 1 + 25 0 . i 3 n 3

Separando os termos dentro do somatório:

= lim n → ∞ ⁡ 5 n . ∑ i = 1 n 1 + ∑ i = 1 n 250 . i 3 n 3

Vamos pensar ! O termo 1 será somado n vezes, concordam?

= lim n → ∞ ⁡ 5 n . 1 n + ∑ i = 1 n 250 . i 3 n 3

Agora sobrou mais um termo constante dentro do somatório, podemos tirá-lo, certo?

= lim n → ∞ ⁡ 5 n . 1 n + 250 n 3 ∑ i = 1 n i 3

Agora vamos fazer a distributiva:

= lim n → ∞ ⁡ 5 + 1 250 n 4 ∑ i = 1 n i 3

Estamos acabando!

Passo 2

Só precisamos saber ∑ i = 1 n i ³ , mas o livro já nos disse a resposta pra isso:

Vamos substituir:

= lim n → ∞ ⁡ 5 + 1250 n 4 . n n + 1 2 2

Reorganizando para facilitar a identificar o limite:

= lim n → ∞ ⁡ 5 + 1250 n 4 . n ² n + 1 ² 4

= lim n → ∞ ⁡ 5 + 1250 4 . n + 1 ² n ²

Mesma coisa, certo? Só mexi um pouquinho na cara da equação:

= lim n → ∞ ⁡ 5 + 312,5 . n + 1 ² n ²

Agora vamos colocar o n dentro do termo ao quadrado:

= lim n → ∞ ⁡ 5 + 312,5 . n + 1 n 2

= lim n → ∞ ⁡ 5 + 312,5 . 1 + 1 n 2

Quando n → ∞ , o termo 1 n → 0 , concordam? Vamos substituir:

= 5 + 312,5 . 1 + 0 2 = 5 + 312,5

Então

∫ 0 5 ( 1 + 2 x ³ ) . d x = 317,5

Resposta

∫ 0 5 ( 1 + 2 x ³ ) . d x = 317,5

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