Enunciado

Expresse a integral como um limite de somas. Depois, calcule, usando um sistema de computação algébrica para encontrar a soma e o limite.

          ∫ 2 10 x 6 d x

Passo 1

Opa! Bora pra mais uma questão?! Primeiro a gente tem que escrever a integral abaixo como um limite de somas:

          ∫ 2 10 x 6 d x

E depois a gente tem que calcular a soma e o limite, mas essa parte é de boas porque a gente pode usar um sistema de computação algébrica.

Para a primeira parte da questão vamos usar o teorema 4, que diz que: Se for integrável em [ a , b ] então:

∫ a b f x d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i ∆ x

Onde:

∆ x = b - a n

x i = a + i ∆ x

Vamos lá?! 😉

Passo 2

Como os nossos limites de integração são 2 e 10 , então:

∆ x = 10 - 2 n = 8 n

x i = 2 + 8 i n

Substituindo:

∫ 2 10 x 6 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f 2 + i 8 n 8 n ∴

∫ 2 10 x 6 d x = lim n → ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 2 + i 8 n 6 8 n

Passo 3

Podemos dar uma arrumadinha usando as propriedades de soma:

∑ i = 1 n c x i = c ∑ i = 1 n x i

∑ i = 1 n c = n c

Assim:

∑ i = 1 n 2 + i 8 n 6 8 n = 8 n ∑ i = 1 n 2 + i 8 n 6

Então:

∫ 2 10 x 6 d x = l i m n → ∞ 8 n ∑ i = 1 n 2 + i 8 n 6 ∴

∫ 2 10 x 6 d x = 8 l i m n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n 2 + i 8 n 6

Passo 4

Agora calculamos a soma utilizando um SCA. Não se preocupe aqui, você pode pesquisar na internet por uma calculadora de somatórios online! Temos:

∫ 2 10 x 6 d x = 8 l i m n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n 2 + i 8 n 6

Calculamos primeiro o somatório:

∫ 2 10 x 6 d x = 8 l i m n → ∞ 1 n 64 58,593 n 6 + 164,052 n 5 + 131,208 n 4 - 27,776 n 2 + 2048 21 n 5    

Agora o limite das somas:

l i m n → ∞ 1 n 64 58,593 n 6 + 164,052 n 5 + 131,208 n 4 - 27,776 n 2 + 2048 21 n 5 = 1249984 7

Assim:

∫ 2 10 x 6 d x = 8 1249984 7 ≈ 14285531

Prontinho! 😉

Resposta

∫ 2 10 x 6 d x = 8 l i m n → ∞ 1 n ∑ i = 1 n 2 + i 8 n 6

∫ 2 10 x 6 d x ≈ 14285531

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