Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 39
Nos exercícios de a , encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
Passo 1
Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:
Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado e o intervalo de integração necessário.
Para auxiliar na resolução do exercício, pode-se notar que a equação dada representa uma lemniscata visto que ela tem a forma de:
Além disso, visto que a função cosseno é par , ela é simétrica em relação ao eixo polar. Dessa forma é possível calcular metade do comprimento da curva de a , tal que o comprimento total será quatro vezes o resultado obtido.
Passo 2
Logo, o que deve ser determinado é:
Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:
Igualando os denominadores:
Logo:
Lembrando que :
Portanto: