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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 52

Calcula a integral indefinida, ilustre e verifique se sua resposta é razoável colocando em um gráfico o integrando e a sua primitiva.

∫ s e n 5 x cos 3 ⁡ x     d x  

Passo 1

Só de olhar para a integral dá um medinho né?! Mas calma, veja só!

∫ s e n n x cos m ⁡ x   d x   = - cos m + 1 ⁡ x s e n n - 1 x m + n + n - 1 m + n ∫ cos m ⁡ x   s e n - 2 + n x   d x

No nosso caso, temos que

n =     5         m = 3  

Então,

∫ s e n 5 x cos 3 ⁡ x     d x   = - cos 4 ⁡ x s e n 4 x   5 + 3 + 2 8   ∫ cos 3 ⁡ x   s e n 3   x   d x  

Vamos usar mais uma vez a fórmula,

∫ cos 3 ⁡ x   s e n 3   x   d x = - cos 4 ⁡ x   s e n 2 x   6 +   3 6 ∫ cos 3 ⁡ x s e n   x   d x

Passo 2

Agora a integral tá mais fácil, veja que apenas a substituição que vamos fazer resolve o problema, ou seja,

u = cos ⁡ x   ⇒ d u = - s e n   x    

Daí,

∫ cos 3 ⁡ x   s e n   x   d x =   - ∫   u 3 d u   =   - 1 4 u 4 = - 1 4 cos 4 ⁡ x

Substituindo na integral inicial,

- cos 4 ⁡ x   s e n 2 x   6 +   3 6 ∫ cos 3 ⁡ x s e n   x   d x =       - cos 4 ⁡ x   s e n 2 x   6 - 1 4 cos 4 ⁡ x

Substituindo na integral anterior,

- cos 4 ⁡ x   s e n 2 x   6 +   3 6 ∫ cos 3 ⁡ x s e n   x   d x =   - cos 4 ⁡ x   s e n 2 x   6   - cos 4 ⁡ x   s e n 2 x   6 - 1 4 cos 4 ⁡ x

Ajeitando as contas, usando a identidade s e n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1   ,  

- cos 4 ⁡ x   s e n 2 x   6   - cos 4 ⁡ x   s e n 2 x   6 - 1 4 cos 4 ⁡ x =   - 1 8 s e n 8 x + 1 6 s e n 6 x    

Passo 3

Vamos plotar os gráficos, ok ?

Sendo a função vermelha a primitiva e a verde o integrando, dá pra perceber que nossa resposta é razoável, pois o integrando tem praticamente as mesmas características do integrando, como por exemplo, assumir valores negativos para x negativos.

Resposta

A resposta encontrada é razoável.

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