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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 30

Calcula a integral

int_0^((pi)/(2)) t g^4 t d t

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa integral.

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

Vamos resolver primeiro a integral indefinida.

Em situações onde temos que integrar uma função trigonométrica, é interessantes utilizarmos de identidades trigonométricas para simplificar a função.

Passo 2

Reescrevendo a função:

int_0^((pi)/(4)) tan^4 t d t = int_0^((pi)/(4)) (tan^2 t) (tan^2 t) d t

Lembre-se que 1 + tan^2 t = sec^2 t -> tan^2 t = sec^2 t - 1 , então

int_0^((pi)/(4)) tan^2 t (tan^2 t) d t = int_0^((pi)/(4)) tan^2 t (sec^2 t - 1) d t

= int_0^((pi)/(4)) (tan^2 t sec^2 t - tan^2 t) d t

Substituindo novamente tan^2 t = sec^2 t - 1

= int_0^((pi)/(4)) [ tan^2 t sec^2 t - (sec^2 t - 1) d t

= int_0^((pi)/(4)) [tan^2 t sec^2 t - sec^2 t + 1] d t

Separando as integrais

= int_0^((pi)/(4)) tan^2 t sec^2 t d t - int_0^((pi)/(4)) sec^2 t d t + int_0^((pi)/(4)) d t

Passo 3

Agora quero que lembre que (d)/(d theta) [tan theta] = sec^2 theta -> int sec^2 theta = tan theta + C

Para int tan^2 theta sec^2 theta d �� seja u = tan theta -> d u = sec^2 theta d theta , então

int tan^2 theta sec^2 theta d theta = int u^2 d u = (u^3)/(3) + C = (tan^3 theta)/(3) + C

Agora integrando

int_0^((pi)/(4)) tan^2 t sec^2 t d t - int_0^((pi)/(4)) sec^2 t d t + int_0^((pi)/(4)) d t = ((tan^3 t)/(3))_0^((pi)/(4)) - [tan t]_0^((pi)/(4)) + [t]_0^((pi)/(4))

= ((tan^3 (pi)/(4))/(3) - (tan^3 0)/(3)) - (tan (pi)/(4) - tan 0) + [(pi)/(4) - 0]

= ((1)/(3) - (0)/(3)) - (1 - 0) + [(pi)/(4) - 0]

= (pi)/(4) - (2)/(3)

Resposta

int_0^((pi)/(2)) t g^4 t d t = (pi)/(4) - (2)/(3)

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