Calcula a integral

∫ 0 π 2   t g 4 t   d t  

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa integral.

Temos que calcular a integral definida dada. Parece bem difícil né? Mas não, veja só!

Vamos resolver primeiro a integral indefinida.

Em situações onde temos que integrar uma função trigonométrica, é interessantes utilizarmos de identidades trigonométricas para simplificar a função.

Passo 2

Reescrevendo a função:

∫ 0 π 4 tan 4 ⁡ t d t = ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t d t

Lembre-se que 1 + tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t → tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t - 1 , então

∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ t tan 2 ⁡ t d t = ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t - 1 d t

= ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t - tan 2 ⁡ t d t

Substituindo novamente tan 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t - 1

= ∫ 0 π 4 [ tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t - sec 2 ⁡ t - 1 d t

= ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t - sec 2 ⁡ t + 1 d t

Separando as integrais

= ∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t d t - ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ t d t + ∫ 0 π 4 d t

Passo 3

Agora quero que lembre que d d θ tan ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ → ∫ sec 2 ⁡ θ = tan ⁡ θ + C

Para ∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d �� seja u = tan ⁡ θ → d u = sec 2 ⁡ θ d θ , então

∫ tan 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ u 2 d u = u 3 3 + C = tan 3 ⁡ θ 3 + C

Agora integrando

∫ 0 π 4 tan 2 ⁡ t sec 2 ⁡ t d t - ∫ 0 π 4 sec 2 ⁡ t d t + ∫ 0 π 4 d t = tan 3 ⁡ t 3 0 π 4 - tan ⁡ t 0 π 4 + t 0 π 4

= tan 3 ⁡ π 4 3 - tan 3 ⁡ 0 3 - tan ⁡ π 4 - tan ⁡ 0 + π 4 - 0

= 1 3 - 0 3 - 1 - 0 + π 4 - 0

= π 4 - 2 3

Resposta

∫ 0 π 2   t g 4 t   d t     = π 4 - 2 3

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