Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.4 - Ex. 39
Nos Exercícios de 1 a 40, faça o seguinte: (a) ache os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada; (b) determine os valores de x nos quais os extremos relativos ocorrem; (c) determine os intervalos nos quais f é crescente; (d) determine os intervalos nos quais f é crescente; (e) faça um esboço do gráfico.
39.
Passo 1
Basicamente quase tudo nesse exercício depende de analisarmos a derivada da função e os intervalos onde ela é positiva, negativa e zero.
E usaremos o Teorema 4.4.4 do Capítulo 4, Seção 4 do livro.
Passo 2
Vamos derivar a função fornecida pelo enunciado.
Passo 3
Agora vamos analisar para qual valores de x a primeira derivada zera.
Para que a expressão acima seja igual a zero, temos que:
Passo 4
Então achamos o valor de x que é ponto crítico de , que é . Agora vamos ver o valor de para tal ponto, jogando o x que encontramos na nossa função.
Passo 5
Agora vamos avaliar para quais intervalos é crescente e decrescente, para isso precisamos ver para quais valores de x é positiva e para quais valores ela é negativa.
Vemos que para:
Então segundo o teorema 4.4.4, como a função é crescente antes de e decrescente depois do mesmo, logo é ponto máximo.
Passo 6
Abaixo podemos ver o gráfico da função.
Resposta
- é extremo relativo.
- Em ocorre extremo relativo.
- é crescente em
- é decrescente em ,