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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.3 - Ex. 3

Seja f (x) = x + e^x e seja g a inversa de f . Calcule g^' (1) e g^(' ') (1) .

Passo 1

Vamos calcular f^' (x) , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função exponencial e do polinômio, além da regra da cadeia:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Assim:

f^' (x) = x^(1 - 1) + e^x = x^0 + e^x = 1 + e^x

Temos que f^' (x) != 0 para todo x , logo ela é crescente, assim é uma bijeção de R em R , então podemos ter a inversa g :

g^' (x) = (1)/(f^' (g (x))) = (1)/(1 + e^(g (x)))

Passo 2

Vamos calcular g^' (1) :

g^' (1) = (1)/(1 + e^(g (1)))

Temos que achar quem é g (1) , vamos a partir da inversa, como temos que:

f (0) = 0 + e^0 = 1 -> g (1) = 0

Pronto, é só substituir:

g^' (1) = (1)/(1 + e^(g (1))) = (1)/(1 + e^0) = (1)/(1 + 1) = (1)/(2)

Passo 3

Agora vamos achar g^(' ') (1) , para isso temos que achar g^(' ') (x) , aqui vamos usar mais uma regra, a da divisão:

g^(' ') (x) = ((1)/(1 + e^(g (x))))^' = (f^' (x) h (x) - f (x) h ' (x))/([h (x)]^2) = ((1)^' (1 + e^(g (x))) - (1) (1 + e^(g (x)))^')/([1 + e^(g (x))]^2) = (0 * (1 + e^(g (x))) - (1) (0 + e^(g (x)) g^' (x)))/([1 + e^(g (x))]^2) = (- e^(g (x)) g^' (x))/((1 + e^(g (x)))^2)

Agora é só aplicar o valor:

g^(' ') (1) = (- e^(g (1)) g^' (1))/((1 + e^(g (1)))^2) = (- e^0 * (1)/(2))/((1 + e^0)^2) = (- 1 * (1)/(2))/((1 + 1)^2) = - (1)/(2) * ((1)/(2^2)) = - (1)/(8)

Resposta

g^' (1) = (1)/(2) e g^(' ') (1) = - (1)/(8)

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