Verifique que.

d/dx[(raiz(27x^2 + 6x - 1) / x) - 3 \* arcsen((1 - 3x) / (6x))] = 1 / (x^2 \* raiz(27x^2 + 6x - 1))

Passo 1

Oi, galerinha! Nessa questão nós temos que calcular a derivada de

27 x 2 + 6 x - 1 x - 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x

Repara que vamos precisar usar a regra da função trigonométrica, da função constante, da divisão e do polinômio.

Só relembrando, temos que a derivada do função arcosseno é,

arcsen ⁡ f x ' = 1 1 - f 2 x ⋅ f x '

A derivada de uma constante é,

c ' = 0

A regra do quociente é,

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

E a derivada do polinômio é,

x n ' = n x n - 1

Passo 2

Vamos aplicar:

y ' = 27 x 2 + 6 x - 1 x - 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x '

y ' = 27 x 2 + 6 x - 1 x ' + - 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x '

Vamos resolver a primeira derivada:

27 x 2 + 6 x - 1 x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Aplicando,

= 27 x 2 + 6 x - 1 ' x - 27 x 2 + 6 x - 1 x ' x 2

Derivando,

= 1 2 27 x 2 + 6 x - 1 - 1 2 27 ⋅ 2 x 2 - 1 + 6 x 0 - 0 x - 27 x 2 + 6 x - 1 x 0 x 2

Ajeitando,

= x 2 27 x 2 + 6 x - 1 54 x + 6 x 0 - 27 x 2 + 6 x - 1 x 2

= x 2 27 x 2 + 6 x - 1 54 x + 6 ⋅ 1 - 27 x 2 + 6 x - 1 x 2

= 54 x 2 + 6 x 2 27 x 2 + 6 x - 1 - 27 x 2 + 6 x - 1 x 2

= 54 x 2 + 6 x - 2 27 x 2 + 6 x - 1 27 x 2 + 6 x - 1 2 27 x 2 + 6 x - 1 x 2

Podemos escrever o nosso denominador como uma multiplicação assim,

= 54 x 2 + 6 x - 2 27 x 2 + 6 x - 1 2 27 x 2 + 6 x - 1 ⋅ 1 x 2

Ajeitando,

= 54 x 2 + 6 x - 54 x 2 - 12 x + 2 2 x 2 27 x 2 + 6 x - 1

= - 6 x + 2 2 x 2 27 x 2 + 6 x - 1

Logo,

27 x 2 + 6 x - 1 x ' = - 3 x + 1 x 2 27 x 2 + 6 x - 1

Passo 3

Agora com a segunda! Vamos usar a regra da cadeia

- 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x ' = - 3 1 1 - 1 - 3 x 6 x 2 ⋅ 1 - 3 x 6 x '

Ajeitando,

= - 3 1 - 1 - 6 x + 9 x 2 36 x 2 ⋅ 1 - 3 x 6 x '

Vamos calcular 1 - 3 x 6 x ' separadamente:

1 - 3 x 6 x ' = 1 - 3 x ' 6 x - 1 - 3 x 6 x ' 6 x 2

= - 3 x 0 6 x - 1 - 3 x 6 x 0 36 x 2

= - 3 ⋅ 1 6 x - 1 - 3 x 6 ⋅ 1 36 x 2

= - 18 x - 6 + 18 x 36 x 2

= - 6 36 x 2

= - 1 6 x 2

Substituindo:

- 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x ' = - 3 1 - 1 - 6 x + 9 x 2 36 x 2 ⋅ - 1 6 x 2

Simplificando,

= 1 2 x 2 36 x 2 - 1 + 6 x - 9 x 2 36 x 2

Ajeitando,

= 1 2 x 2 27 x 2 - 1 + 6 x 36 x 2

= 1 2 x 2 27 x 2 - 1 + 6 x 36 x 2

= 1 2 x 2 ⋅ 36 x 2 27 x 2 - 1 + 6 x

= 1 2 x 2 ⋅ 6 x 27 x 2 - 1 + 6 x

Logo,

- 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x ' = 3 x 27 x 2 - 1 + 6 x

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y ' = 27 x 2 + 6 x - 1 x ' + - 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x '

y ' = - 3 x + 1 x 2 27 x 2 + 6 x - 1 + 3 x 27 x 2 - 1 + 6 x

Ajeitando,

y ' = - 3 x + 1 + 3 x x 2 27 x 2 + 6 x - 1 = 1 x 2 27 x 2 + 6 x - 1

Assim:

d d x 27 x 2 + 6 x - 1 x - 3 arcsen ⁡ 1 - 3 x 6 x = 1 x 2 27 x 2 + 6 x - 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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