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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.3 - Ex. 8e

Verifique que.

(d)/(d x) [(sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(x) - 3 arcsen ((1 - 3 x)/(6 x))] = (1)/(x^2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))

Passo 1

Oi, galerinha! Nessa questão nós temos que calcular a derivada de

[(sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(x) - 3 arcsen ((1 - 3 x)/(6 x))]

Repara que vamos precisar usar a regra da função trigonométrica, da função constante, da divisão e do polinômio.

Só relembrando, temos que a derivada do função arcosseno é,

(arcsen f (x))^' = (1)/(sqrt(1 - f^2 (x))) * (f (x))^'

A derivada de uma constante é,

(c)^' = 0

A regra do quociente é,

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

E a derivada do polinômio é,

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 2

Vamos aplicar:

y^' = ((sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(x) - 3 arcsen ((1 - 3 x)/(6 x)))^'

y ' = ((sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(x))^' + (- 3 arcsen ((1 - 3 x)/(6 x)))^'

Vamos resolver a primeira derivada:

((sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(x))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g^(' (x)))/([g (x)]^2)

Aplicando,

= ((sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))^' (x) - (sqrt(27 x^2 + 6 x - 1)) (x)^')/([x]^2)

Derivando,

= ((1)/(2) (27 x^2 + 6 x - 1)^(- (1)/(2)) (27 * 2 x^(2 - 1) + 6 x^0 - 0) (x) - (sqrt(27 x^2 + 6 x - 1)) (x^0))/(x^2)

Ajeitando,

= ((x)/(2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1)) (54 x + 6 x^0) - sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(x^2)

= ((x)/(2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1)) (54 x + 6 * 1) - sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(x^2)

= ((54 x^2 + 6 x)/(2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1)) - sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(x^2)

= ((54 x^2 + 6 x - 2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1) sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1)))/(x^2)

Podemos escrever o nosso denominador como uma multiplicação assim,

= (54 x^2 + 6 x - 2 (27 x^2 + 6 x - 1))/(2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1)) * ((1)/(x^2))

Ajeitando,

= (54 x^2 + 6 x - 54 x^2 - 12 x + 2)/(2 x^2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))

= (- 6 x + 2)/(2 x^2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))

Logo,

((sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(x))^' = (- 3 x + 1)/(x^2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))

Passo 3

Agora com a segunda! Vamos usar a regra da cadeia

(- 3 arcsen ((1 - 3 x)/(6 x)))^' = - 3 (1)/(sqrt(1 - ((1 - 3 x)/(6 x))^2)) * ((1 - 3 x)/(6 x))^'

Ajeitando,

= (- 3)/(sqrt(1 - (1 - 6 x + 9 x^2)/(36 x^2))) * ((1 - 3 x)/(6 x))^'

Vamos calcular ((1 - 3 x)/(6 x))^' separadamente:

((1 - 3 x)/(6 x))^' = ((1 - 3 x)^' (6 x) - (1 - 3 x) (6 x)^')/([6 x]^2)

= ((- 3 x^0) (6 x) - (1 - 3 x) (6 x^0))/(36 x^2)

= ((- 3 * 1) (6 x) - (1 - 3 x) (6 * 1))/(36 x^2)

= (- 18 x - 6 + 18 x)/(36 x^2)

= (- 6)/(36 x^2)

= - (1)/(6 x^2)

Substituindo:

(- 3 arcsen ((1 - 3 x)/(6 x)))^' = (- 3)/(sqrt(1 - (1 - 6 x + 9 x^2)/(36 x^2))) * (- (1)/(6 x^2))

Simplificando,

= (1)/(2 x^2 sqrt((36 x^2 - 1 + 6 x - 9 x^2)/(36 x^2)))

Ajeitando,

= (1)/(2 x^2 sqrt((27 x^2 - 1 + 6 x)/(36 x^2)))

= (1)/(2 x^2 (sqrt(27 x^2 - 1 + 6 x))/(sqrt(36 x^2)))

= (1)/(2 x^2) * ((sqrt(36 x^2))/(sqrt(27 x^2 - 1 + 6 x)))

= (1)/(2 x^2) * ((6 x)/(sqrt(27 x^2 - 1 + 6 x)))

Logo,

(- 3 arcsen ((1 - 3 x)/(6 x)))^' = (3)/(x sqrt(27 x^2 - 1 + 6 x))

Passo 4

Pronto, agora é só substituir na expressão:

y^' = ((sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(x))^' + (- 3 arcsen ((1 - 3 x)/(6 x)))^'

y^' = (- 3 x + 1)/(x^2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1)) + (3)/(x sqrt(27 x^2 - 1 + 6 x))

Ajeitando,

y ' = (- 3 x + 1 + 3 x)/(x^2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1)) = (1)/(x^2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))

Assim:

(d)/(d x) [(sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))/(x) - 3 arcsen ((1 - 3 x)/(6 x))] = (1)/(x^2 sqrt(27 x^2 + 6 x - 1))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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