Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 8.3 - Ex. 8f

Verifique que.

(d)/(d x) [- sqrt((2)/(3)) arctg sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2)))] = (1)/(x sqrt(5 x - 6 - x^2))

Passo 1

Vamos calcular (d)/(d x) [- sqrt((2)/(3)) arctg sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2)))] , vamos ver as regras que vamos precisar para calcular as derivadas, vamos usar a regra da função trigonométrica, da função constante, da divisão e do polinômio:

(ar ctg f (x))^' = (1)/(1 + f^2 (x)) * (f (x))^'

(c)^' = 0

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 2

Vamos então aplicar:

y^' = (- sqrt((2)/(3)) arctg sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2))))^' = - sqrt((2)/(3)) * (1)/(1 + (sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2))))^2) * (sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2))))^'

Vamos resolver a derivada (sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2))))^' :

(sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2))))^' = (((2 (3 - x))/(3 (x - 2)))^((1)/(2)))^' = (1)/(2) ((2 (3 - x))/(3 (x - 2)))^((1)/(2) - 1) ((2 (3 - x))/(3 (x - 2)))^' = (1)/(3) ((2 (3 - x))/(3 (x - 2)))^(- (1)/(2)) ((3 - x)/(x - 2))^'

Aqui vamos resolver ((3 - x)/(x - 2))^' :

((3 - x)/(x - 2))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2) = ((3 - x)^' (x - 2) - (3 - x) (x - 2)^')/([x - 2]^2) = ((0 - x^(1 - 1)) (x - 2) - (3 - x) (x^(1 - 1) - 0))/((x - 2)^2) = ((- x^0) (x - 2) - (3 - x) (x^0))/((x - 2)^2) = ((- 1) (x - 2) - (3 - x) (1))/((x - 2)^2) = (- x + 2 - 3 + x)/((x - 2)^2) = (- 1)/((x - 2)^2)

Substituindo:

(sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2))))^' = (1)/(3) ((2 (3 - x))/(3 (x - 2)))^(- (1)/(2)) ((3 - x)/(x - 2))^' = (1)/(3 sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2)))) ((- 1)/((x - 2)^2)) = (- 1)/(3 (x - 2)^2 sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2)))) = (- 1)/(3 (x - 2)^2 (sqrt(2 (3 - x)))/(sqrt(3 (x - 2)))) = (- 1)/(3 (x - 2)^2 (sqrt(2) sqrt(3 - x))/(sqrt(3) sqrt(x - 2 ))) = (- 1)/((3 sqrt(2) sqrt(3 - x) (x - 2)^2)/(3^((1)/(2)) (x - 2)^((1)/(2)))) = (- 1)/(3^(1 - (1)/(2)) sqrt(2) sqrt(3 - x) (x - 2)^(2 - (1)/(2))) = (- 1)/(3^((1)/(2)) sqrt(2) sqrt(3 - x) (x - 2)^((3)/(2))) = (- 1)/(sqrt(3) sqrt(2) sqrt(3 - x) (x - 2)^((3)/(2))) = (- 1)/(sqrt(6) sqrt(3 - x) (x - 2)^((3)/(2)))

Passo 3

Agora fazendo a última substituição:

y^' = - sqrt((2)/(3)) * ((1)/(1 + (sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2))))^2)) * (sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2))))^' = - sqrt((2)/(3)) * ((1)/(1 + (sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2))))^2)) * ((- 1)/(sqrt(6) sqrt(3 - x) (x - 2)^((3)/(2)))) = - sqrt((2)/(3)) * ((1)/(1 + (2 (3 - x))/(3 (x - 2)))) * ((- 1)/(sqrt(6) sqrt(3 - x) (x - 2)^((3)/(2)))) = - sqrt((2)/(3)) * ((1)/((3 (x - 2) + 2 (3 - x))/(3 (x - 2)))) * ((- 1)/(sqrt(6) sqrt(3 - x) (x - 2)^((3)/(2)))) = - sqrt((2)/(3)) * ((1)/((x)/(3 (x - 2)))) * ((- 1)/(sqrt(6) sqrt(3 - x) (x - 2)^((3)/(2)))) = (sqrt(2))/(sqrt(3)) * ((3 (x - 2)^(1 - (3)/(2)))/(x)) * ((1)/(sqrt(2) sqrt(3) sqrt(3 - x))) = (1)/(sqrt(3)) * ((3 (x - 2)^(- (1)/(2)))/(x)) * ((1)/(3^((1)/(2)) sqrt(3 - x))) = (3^(1 - (1)/(2)) (x - 2)^(- (1)/(2)))/(sqrt(3) x sqrt(3 - x)) = (3^((1)/(2)))/(sqrt(3) x sqrt(x - 2) sqrt(3 - x)) = (1)/(x sqrt((x - 2) (3 - x))) = (1)/(x sqrt(3 x - x^2 - 6 + 2 x)) = (1)/(x sqrt(5 x - x^2 - 6))

Assim:

(d)/(d x) [- sqrt((2)/(3)) arctg sqrt((2 (3 - x))/(3 (x - 2)))] = (1)/(x sqrt(5 x - 6 - x^2))

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). f x = e 2 x - e x
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). f x = - x 4 + 4 x 3 - 4 x 2 + 2
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). f x = x 3 + 2 x 2 + x + 1
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). y = x + 1 x 2
Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento e esboce o gráfico (calcule para isto todos os limites necessários). f x = 3 x 2 + 4 x 1 + x 2