Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 50

Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.

y = θ sen ⁡ θ sec ⁡ θ

Passo 1

Aplicar a derivação logarítmica quer dizer que vamos primeiro colocar o log dos dois lados!

ln ⁡ y = ln ⁡ θ sen ⁡ θ sec ⁡ θ = ln ⁡ ( θ sen ⁡ θ sec ⁡ θ - 1 ) = ln ⁡ θ sen ⁡ θ sec ⁡ θ 1 2 - 1 = ln ⁡ θ sen ⁡ θ sec ⁡ θ - 1 2 = ln ⁡ θ sen ⁡ θ - 1 2 ( ln ⁡ sec ⁡ θ ) = ln ⁡ θ + ln ⁡ ( sen ⁡ θ ) - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ

Passo 2

Agora vamos derivar ambos os lados! Para o lado esquerdo temos uma função composta e por isso usamos a regra da cadeia ficando com

ln ⁡ y ' = 1 y y '

Já para o lado direito vamos ter que

ln ⁡ θ + ln ⁡ ( sen ⁡ θ ) - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ ' = ln ⁡ θ ' + ln ⁡ sen ⁡ θ ' - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ '

Passo 3

Para derivar o primeiro termo, basta consultarmos a tabela das derivadas e temos que

ln ⁡ θ ' = 1 θ

Para derivar os demais termos vamos ter que usar a regra da cadeia. Para o segundo temos a composição de f θ = ln ⁡ θ com g θ = sen ⁡ θ

ln ⁡ sen ⁡ θ ' = f ' g θ ⋅ g ' θ

Pela tabela de derivadas temos que

f ' θ = 1 θ

g ' θ = cos ⁡ θ

Logo,

ln ⁡ sen ⁡ θ ' = 1 sen ⁡ θ cos ⁡ θ = 1 tg ⁡ θ

Para o último temos a composição de h θ = ln ⁡ θ com w θ = sec ⁡ θ

- 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ ' = - 1 2 h ' w θ ⋅ w ' θ

Pela tabela de derivadas temos que

h ' θ = 1 θ

w ' θ = sec ⁡ θ tg ⁡ θ

Logo,

- 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ ' = - 1 2 1 sec ⁡ θ ⋅ sec ⁡ θ tg ⁡ θ = - 1 2 ( tg ⁡ θ )  

Passo 4

Juntando tudo temos que

1 y y ' = 1 θ + 1 tg ⁡ θ - 1 2 ( tg ⁡ θ )

Mas, pelo enunciado y = θ sen ⁡ θ sec ⁡ θ . Portanto,

y ' = θ sen ⁡ θ sec ⁡ θ ⋅ 1 θ + 1 tg ⁡ θ - 1 2 ( tg ⁡ θ )

Resposta

y ' = θ sen ⁡ θ sec ⁡ θ ⋅ 1 θ + 1 tg ⁡ θ - 1 2 ( tg ⁡ θ )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y =3 - x
Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y =5 s
Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y =2 s 2
Determine D y / D xd el nx y=e x + y
Determine a derivada de y em relação à variável independente dada: y =2 x