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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.8 - Ex. 42

Nos exercícios 41-54, utilize a derivação logarítmica para determinar a derivada de y em relação à variável independente dada.

y = x 2 + 1 x - 1 2

Passo 1

Aplicar a derivação logarítmica quer dizer que vamos primeiro colocar o log dos dois lados!

ln ⁡ y = ln ⁡ x 2 + 1 x - 1 2 = ln ⁡ x 2 + 1 x - 1 2 1 2 = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 x - 1 2 = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + ln ⁡ x - 1 2 = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + 2 ln ⁡ x - 1 = ln ⁡ x 2 + 1 2 + ln ⁡ ( x - 1 )

Passo 2

Agora vamos derivar ambos os lados! Para o lado esquerdo temos uma função composta e por isso usamos a regra da cadeia ficando com

ln ⁡ y ' = 1 y y '

Já para o lado direito vamos ter que

ln ⁡ x 2 + 1 2 + ln ⁡ ( x - 1 ) ' = ln ⁡ x 2 + 1 2 ' + ln ⁡ x - 1 '

Passo 3

Para derivar ambos os termos vamos ter que usar a regra da cadeia. Para o primeiro temos a composta de f x = ln ⁡ x com g x = x 2 + 1 . Logo, pela regra da cadeia

ln ⁡ x 2 + 1 2 ' = 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 ' = 1 2 f ' g x ⋅ g ' x

Pela tabela de derivadas temos que

f ' x = 1 x

g ' x = 2 x

Logo

ln ⁡ x 2 + 1 2 ' = 1 2 1 x 2 + 1 ⋅ 2 x = x x 2 + 1

Para o segundo termo temos a composição de h x = ln ⁡ x com w x = x - 1 . Logo

ln ⁡ x - 1 ' = h ' w x ⋅ w ' ( x )

Pela tabela de derivadas temos

h ' x = 1 x

w ' x = 1

Assim,

ln ⁡ x - 1 ' = 1 x - 1

Passo 4

Juntando tudo temos que

1 y y ' = x x 2 + 1 + 1 x - 1

Mas, pelo enunciado y = x 2 + 1 x - 1 2 . Portanto,

y ' = x 2 + 1 x - 1 2 ⋅ x x 2 + 1 + 1 x - 1

Resposta

y ' = x 2 + 1 x - 1 2 ⋅ x x 2 + 1 + 1 x - 1

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