Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 2.5 - Ex. 55

Nos exercícios de 49 a 56, encontre as assíntotas horizontal e vertical e faça um esboço do gráfico da equação

55 )   x ² y - 2 x 2 - y - 2 = 0

Passo 1

Vamos escrever isso como y x antes de mais nada, belezinha? Saca só:

x ² y - 2 x 2 - y - 2 = 0

y x 2 - 1 - 2 x 2 - 2 = 0

y x 2 - 1 = 2 x 2 + 2

y x = 2 x 2 + 2 x 2 - 1

Passo 2

Bora achar as assíntotas horizontais. Precisamos pra isso fazer os limites pros infinito, beleza?

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 2 + 2 x 2 x 2 1 - 1 x 2 = lim x → ± ∞ ⁡ 2 + 2 x 2 1 - 1 x 2

Nos dois casos teremos

lim x → ± ∞ ⁡ 2 + 2 x 2 1 - 1 x 2 = 2 + 0 1 - 0 = 2

Limites deram números? Então beleza, temos assíntotas horizontais!

Passo 3

Pras verticais, fazemos os limites pro ponto que “dá problema”. No caso, limites laterais pra x = - 1 e x = + 1 , os dois pontos que zeram o denominador:

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

E pro outro ponto:

lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

lim x → - 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

Se os limites explodiram então temos duas assíntotas verticais!

Passo 4

Juntando os resultados dos limites, esboçamos:

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 2

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

lim x → - 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

Resposta

lim x → ± ∞ ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 2

lim x → 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

lim x → 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

lim x → - 1 - ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 + = + ∞

lim x → - 1 + ⁡ 2 x 2 + 2 x 2 - 1 = 4 0 - = - ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

( a ) O gráfico de y = f ( x ) pode interceptar uma assíntota vertical? E uma assíntota Horizontal? Ilustre com gráficos. ( b ) Quantas assíntotas horizontais pode ter o gráfico de y = f ( x ) ? Ilust
Encontre as assíntotas horizontais e verticaisy = (x^2 + 4)/(x^2 - 1)
Encontre as assíntotas horizontais e verticais. y = x x + 4
Encontre as assíntotas horizontais e verticais y = 2 x 2 + x - 1 x 2 + x - 2
Encontre uma formula para uma função que tenha por assíntotas verticais x = 1ex = 3 e por assíntota horizontal y = 1 .